放物線 $y = -x^2 - 3x$ とx軸で囲まれた部分の面積を求める問題と、放物線 $y = -x^2 + 2x + 3$ とx軸で囲まれた部分の面積を求める問題の2つがあります。

1. 問題の内容

放物線 $y = -x^2 - 3x$ とx軸で囲まれた部分の面積を求める問題と、放物線 $y = -x^2 + 2x + 3$ とx軸で囲まれた部分の面積を求める問題の2つがあります。

2. 解き方の手順

(1) $y = -x^2 - 3x$の場合

まず、放物線とx軸の交点を求めます。

$-x^2 - 3x = 0$

$-x(x + 3) = 0$

$x = 0, -3$

よって、放物線とx軸で囲まれた部分は$x = -3$から$x = 0$の区間にあります。この区間で$y$は正の値を取るので、面積Sは次の積分で求められます。

$S = \int_{-3}^{0} (-x^2 - 3x) dx$

$S = \left[ -\frac{1}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 \right]_{-3}^{0}$

$S = 0 - \left( -\frac{1}{3}(-3)^3 - \frac{3}{2}(-3)^2 \right)$

$S = - \left( -\frac{1}{3}(-27) - \frac{3}{2}(9) \right)$

$S = -(9 - \frac{27}{2}) = -(\frac{18 - 27}{2}) = -(\frac{-9}{2}) = \frac{9}{2}$

(2) $y = -x^2 + 2x + 3$の場合

まず、放物線とx軸の交点を求めます。

$-x^2 + 2x + 3 = 0$

$-(x^2 - 2x - 3) = 0$

$-(x - 3)(x + 1) = 0$

$x = 3, -1$

よって、放物線とx軸で囲まれた部分は$x = -1$から$x = 3$の区間にあります。この区間で$y$は正の値を取るので、面積Sは次の積分で求められます。

$S = \int_{-1}^{3} (-x^2 + 2x + 3) dx$

$S = \left[ -\frac{1}{3}x^3 + x^2 + 3x \right]_{-1}^{3}$

$S = \left( -\frac{1}{3}(3)^3 + (3)^2 + 3(3) \right) - \left( -\frac{1}{3}(-1)^3 + (-1)^2 + 3(-1) \right)$

$S = \left( -9 + 9 + 9 \right) - \left( \frac{1}{3} + 1 - 3 \right)$

$S = 9 - \left( \frac{1}{3} - 2 \right) = 9 - \left( \frac{1 - 6}{3} \right) = 9 - \left( -\frac{5}{3} \right) = 9 + \frac{5}{3} = \frac{27 + 5}{3} = \frac{32}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{9}{2}$

(2) $\frac{32}{3}$