自然数 $a$ について、和が2で積が $2-a$ となる2つの異なる整数が存在する。このような $a$ を小さい順に $a_1, a_2, a_3, ...$ とおく。$a_1, a_2, a_3$ の値を求め、数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $k$ 項までの和が294であるとき、$k$ の値を求める。

1. 問題の内容

自然数 $a$ について、和が2で積が $2-a$ となる2つの異なる整数が存在する。このような $a$ を小さい順に $a_1, a_2, a_3, ...$ とおく。$a_1, a_2, a_3$ の値を求め、数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $k$ 項までの和が294であるとき、$k$ の値を求める。

2. 解き方の手順

和が2で積が $2-a$ となる2つの整数を $x, y$ とすると、

$x + y = 2$

$xy = 2 - a$

$x$ と $y$ は $t$ の二次方程式 $t^2 - 2t + (2-a) = 0$ の解である。この方程式が異なる2つの実数解を持つためには、判別式 $D$ が正である必要がある。

$D = (-2)^2 - 4(1)(2-a) > 0$

$4 - 8 + 4a > 0$

$4a > 4$

$a > 1$

また、$x, y$ は整数なので、判別式 $D$ は平方数でなければならない。つまり、$4a - 4$ が平方数である必要がある。

$4a - 4 = 4(a - 1) = m^2$ （$m$ は整数）

$a - 1 = (\frac{m}{2})^2$ であるから、$a - 1$ は平方数でなければならない。

$a - 1 = n^2$ （$n$ は整数）

$a = n^2 + 1$

$a_1$ は $a$ の最小値なので、$n=1$ のとき、$a_1 = 1^2 + 1 = 2$

$n=2$ のとき、$a_2 = 2^2 + 1 = 5$

$n=3$ のとき、$a_3 = 3^2 + 1 = 10$

したがって、$a_n = n^2 + 1$

数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $k$ 項までの和 $S_k$ は、

$S_k = \sum_{n=1}^{k} (n^2 + 1) = \sum_{n=1}^{k} n^2 + \sum_{n=1}^{k} 1 = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6} + k$

$S_k = \frac{k(k+1)(2k+1) + 6k}{6} = \frac{k(2k^2 + 3k + 1 + 6)}{6} = \frac{k(2k^2 + 3k + 7)}{6}$

$S_k = 294$ より、

$\frac{k(2k^2 + 3k + 7)}{6} = 294$

$k(2k^2 + 3k + 7) = 294 \times 6 = 1764$

$2k^3 + 3k^2 + 7k - 1764 = 0$

$k = 9$ を代入すると、$2(9^3) + 3(9^2) + 7(9) = 2(729) + 3(81) + 63 = 1458 + 243 + 63 = 1764$

したがって、$k = 9$

3. 最終的な答え

$a_1 = 2$

$a_2 = 5$

$a_3 = 10$

$k = 9$