a, b, c, d の4つの文字を1列に並べるとき、1番目の文字はaではなく、2番目の文字はbではなく、3番目の文字はcではなく、4番目の文字はdではない並べ方は何通りあるか。

1. 問題の内容

a, b, c, d の4つの文字を1列に並べるとき、1番目の文字はaではなく、2番目の文字はbではなく、3番目の文字はcではなく、4番目の文字はdではない並べ方は何通りあるか。

2. 解き方の手順

この問題は、包除原理を用いて解くことができます。

まず、4つの文字を並べるすべての並べ方の数を求めます。これは $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ 通りです。

次に、条件を満たさない並べ方の数を数えます。

A: 1番目の文字がaである並べ方の数

B: 2番目の文字がbである並べ方の数

C: 3番目の文字がcである並べ方の数

D: 4番目の文字がdである並べ方の数

それぞれの集合の要素数を求めます。

$|A| = |B| = |C| = |D| = 3! = 6$

$|A \cap B| = |A \cap C| = |A \cap D| = |B \cap C| = |B \cap D| = |C \cap D| = 2! = 2$

$|A \cap B \cap C| = |A \cap B \cap D| = |A \cap C \cap D| = |B \cap C \cap D| = 1! = 1$

$|A \cap B \cap C \cap D| = 1$

包除原理を用いると、条件を満たさない並べ方の総数は、

$|A \cup B \cup C \cup D| = |A| + |B| + |C| + |D| - (|A \cap B| + |A \cap C| + |A \cap D| + |B \cap C| + |B \cap D| + |C \cap D|) + (|A \cap B \cap C| + |A \cap B \cap D| + |A \cap C \cap D| + |B \cap C \cap D|) - |A \cap B \cap C \cap D|$

$= 4 \times 6 - 6 \times 2 + 4 \times 1 - 1 = 24 - 12 + 4 - 1 = 15$

求める並べ方の数は、すべての並べ方から条件を満たさない並べ方を引いたものです。

$24 - 15 = 9$

3. 最終的な答え

9通り