68人の人にA, B, Cの3都市への旅行経験を調査した。全員が少なくとも1つの都市に行ったことがある。$B \cap C$、$C \cap A$、$A \cap B$に行ったことのある人数はそれぞれ21人、19人、25人である。$B \cup C$、$C \cup A$、$A \cup B$に行ったことのある人数はそれぞれ59人、56人、60人である。 (1) A, B, Cの各都市へ行ったことのある人数をそれぞれ求める。 (2) A, B, Cの全都市へ行ったことのある人数を求める。

1. 問題の内容

68人の人にA, B, Cの3都市への旅行経験を調査した。全員が少なくとも1つの都市に行ったことがある。$B \cap C$、$C \cap A$、$A \cap B$に行ったことのある人数はそれぞれ21人、19人、25人である。$B \cup C$、$C \cup A$、$A \cup B$に行ったことのある人数はそれぞれ59人、56人、60人である。

(1) A, B, Cの各都市へ行ったことのある人数をそれぞれ求める。

(2) A, B, Cの全都市へ行ったことのある人数を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$n(A), n(B), n(C)$をそれぞれ都市A, B, Cへ行ったことのある人数とする。

条件より、$n(A \cup B \cup C) = 68$、$n(B \cap C) = 21$、$n(C \cap A) = 19$、$n(A \cap B) = 25$、$n(B \cup C) = 59$、$n(C \cup A) = 56$、$n(A \cup B) = 60$ である。

$n(B \cup C) = n(B) + n(C) - n(B \cap C)$より、$n(B) + n(C) = n(B \cup C) + n(B \cap C) = 59 + 21 = 80$。

$n(C \cup A) = n(C) + n(A) - n(C \cap A)$より、$n(C) + n(A) = n(C \cup A) + n(C \cap A) = 56 + 19 = 75$。

$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$より、$n(A) + n(B) = n(A \cup B) + n(A \cap B) = 60 + 25 = 85$。

ここで、$n(A) + n(B) = 85$、$n(B) + n(C) = 80$、$n(C) + n(A) = 75$ という連立方程式を得る。

これらの式を足し合わせると、$2(n(A) + n(B) + n(C)) = 85 + 80 + 75 = 240$となるので、$n(A) + n(B) + n(C) = 120$。

この式と上記の各方程式から、以下を得る。

$n(C) = (n(A) + n(B) + n(C)) - (n(A) + n(B)) = 120 - 85 = 35$。

$n(A) = (n(A) + n(B) + n(C)) - (n(B) + n(C)) = 120 - 80 = 40$。

$n(B) = (n(A) + n(B) + n(C)) - (n(C) + n(A)) = 120 - 75 = 45$。

(2)

包除原理より、$n(A \cup B \cup C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A \cap B) - n(B \cap C) - n(C \cap A) + n(A \cap B \cap C)$である。

$n(A \cup B \cup C) = 68$, $n(A) + n(B) + n(C) = 120$, $n(A \cap B) = 25$, $n(B \cap C) = 21$, $n(C \cap A) = 19$ を代入すると、

$68 = 120 - 25 - 21 - 19 + n(A \cap B \cap C)$。

$68 = 55 + n(A \cap B \cap C)$となるので、$n(A \cap B \cap C) = 68 - 55 = 13$。

3. 最終的な答え

(1) A, B, Cの各都市へ行ったことのある人数は、それぞれ40人、45人、35人である。

(2) A, B, Cの全都市へ行ったことのある人数は13人である。