曲線 $y = \cos 2x$ （$-\frac{\pi}{4} \le x \le \frac{\pi}{4}$）上の動点Pと点A(0, 1)の2点を通る、y軸上に中心をもつ円の半径を $r$ とする。PがAに限りなく近づくとき、$r$ はどんな値に近づくか。

1. 問題の内容

曲線 $y = \cos 2x$ （$-\frac{\pi}{4} \le x \le \frac{\pi}{4}$）上の動点Pと点A(0, 1)の2点を通る、y軸上に中心をもつ円の半径を $r$ とする。PがAに限りなく近づくとき、$r$ はどんな値に近づくか。

2. 解き方の手順

点Pの座標を $(x, \cos 2x)$ とおく。円の中心はy軸上にあるので、その座標を $(0, c)$ とおく。

点A(0, 1)と点P $(x, \cos 2x)$ は円周上の点なので、中心からの距離は等しい。

したがって、

$x^2 + (\cos 2x - c)^2 = (1-c)^2$

$x^2 + \cos^2 2x - 2c \cos 2x + c^2 = 1 - 2c + c^2$

$x^2 + \cos^2 2x - 2c \cos 2x = 1 - 2c$

$2c(1 - \cos 2x) = 1 - \cos^2 2x - x^2$

$2c(1 - \cos 2x) = (1 - \cos 2x)(1 + \cos 2x) - x^2$

$c = \frac{(1 - \cos 2x)(1 + \cos 2x) - x^2}{2(1 - \cos 2x)}$

$c = \frac{1 + \cos 2x}{2} - \frac{x^2}{2(1 - \cos 2x)}$

ここで、$x \to 0$ のときの $c$ の極限を求める。

$r = |1 - c|$ であり、$x \to 0$ のとき、PがAに近づくので、$r$ の極限を求めるには、$c$ の極限を求めればよい。

$x \to 0$ のとき、$\cos 2x = 1 - \frac{(2x)^2}{2!} + \frac{(2x)^4}{4!} - \dots = 1 - 2x^2 + \frac{2}{3} x^4 - \dots$

$1 - \cos 2x = 2x^2 - \frac{2}{3} x^4 + \dots$

$c = \frac{1 + (1 - 2x^2 + \frac{2}{3} x^4 - \dots)}{2} - \frac{x^2}{2(2x^2 - \frac{2}{3} x^4 + \dots)}$

$c = \frac{2 - 2x^2 + \frac{2}{3} x^4 - \dots}{2} - \frac{x^2}{4x^2 - \frac{4}{3} x^4 + \dots}$

$c = 1 - x^2 + \frac{1}{3} x^4 - \dots - \frac{1}{4 - \frac{4}{3} x^2 + \dots}$

$c = 1 - x^2 + \frac{1}{3} x^4 - \dots - \frac{1}{4} (1 + \frac{1}{3} x^2 + \dots)$

$c = 1 - x^2 - \frac{1}{4} - \frac{1}{12} x^2 + \dots$

$c = \frac{3}{4} - \frac{13}{12} x^2 + \dots$

$\lim_{x \to 0} c = \frac{3}{4}$

したがって、$r = |1 - c| = |1 - \frac{3}{4}| = \frac{1}{4}$

$\lim_{x \to 0} r = \frac{1}{4}$

別の解法として、ロピタルの定理を使う

$\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{2(1 - \cos 2x)} = \lim_{x \to 0} \frac{2x}{2(2 \sin 2x)} = \lim_{x \to 0} \frac{2x}{4 \sin 2x} = \lim_{x \to 0} \frac{2}{8 \cos 2x} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

$\lim_{x \to 0} c = \lim_{x \to 0} (\frac{1 + \cos 2x}{2} - \frac{x^2}{2(1 - \cos 2x)}) = \frac{1 + 1}{2} - \frac{1}{4} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

$r = |1 - \frac{3}{4}| = \frac{1}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{4}$