与えられた式 $\frac{\sqrt{10 + \sqrt{1}} + \sqrt{10 + \sqrt{2}} + \dots + \sqrt{10 + \sqrt{99}}}{\sqrt{10 - \sqrt{1}} + \sqrt{10 - \sqrt{2}} + \dots + \sqrt{10 - \sqrt{99}}}$ の値を求めます。

1. 問題の内容

与えられた式

$\frac{\sqrt{10 + \sqrt{1}} + \sqrt{10 + \sqrt{2}} + \dots + \sqrt{10 + \sqrt{99}}}{\sqrt{10 - \sqrt{1}} + \sqrt{10 - \sqrt{2}} + \dots + \sqrt{10 - \sqrt{99}}}$

の値を求めます。

2. 解き方の手順

与えられた分数の分子を$S_1$、分母を$S_2$とします。

$S_1 = \sum_{k=1}^{99} \sqrt{10 + \sqrt{k}}$

$S_2 = \sum_{k=1}^{99} \sqrt{10 - \sqrt{k}}$

ここで、$A = \sqrt{10 + \sqrt{k}}$、$B = \sqrt{10 - \sqrt{k}}$とします。

すると、$A^2 = 10 + \sqrt{k}$、$B^2 = 10 - \sqrt{k}$となります。

$A^2 + B^2 = 10 + \sqrt{k} + 10 - \sqrt{k} = 20$

また、$A^2 - B^2 = 10 + \sqrt{k} - (10 - \sqrt{k}) = 2\sqrt{k}$

$(A + B)^2 = A^2 + B^2 + 2AB = 20 + 2\sqrt{(10 + \sqrt{k})(10 - \sqrt{k})} = 20 + 2\sqrt{100 - k}$

$(A - B)^2 = A^2 + B^2 - 2AB = 20 - 2\sqrt{(10 + \sqrt{k})(10 - \sqrt{k})} = 20 - 2\sqrt{100 - k}$

ここで、$A = \sqrt{10 + \sqrt{k}}$と$B = \sqrt{10 - \sqrt{k}}$について、$\sqrt{10+\sqrt{k}} + \sqrt{10-\sqrt{k}}$ と $\sqrt{10+\sqrt{k}} - \sqrt{10-\sqrt{k}}$ を考えます。

$\left( \sqrt{10+\sqrt{k}} + \sqrt{10-\sqrt{k}} \right)^2 = 10+\sqrt{k} + 10-\sqrt{k} + 2\sqrt{100 - k} = 20 + 2\sqrt{100 - k}$

$\left( \sqrt{10+\sqrt{k}} - \sqrt{10-\sqrt{k}} \right)^2 = 10+\sqrt{k} + 10-\sqrt{k} - 2\sqrt{100 - k} = 20 - 2\sqrt{100 - k}$

したがって、

$\sqrt{10 + \sqrt{k}} + \sqrt{10 - \sqrt{k}} = \sqrt{20 + 2\sqrt{100 - k}} = \sqrt{2} \sqrt{10 + \sqrt{100 - k}}$

$\sqrt{10 + \sqrt{k}} - \sqrt{10 - \sqrt{k}} = \sqrt{20 - 2\sqrt{100 - k}} = \sqrt{2} \sqrt{10 - \sqrt{100 - k}}$

ここで、$S_1$と$S_2$について、$\sqrt{10 + \sqrt{k}}$と$\sqrt{10 - \sqrt{k}}$を入れ替えることを考えます。

$k$を$99$から$1$まで足し合わせることは、$k' = 100 - k$を$1$から$99$まで足し合わせることと同じです。

そこで、$S_1$と$S_2$を足し合わせることを考えると、

$S_1 + S_2 = \sum_{k=1}^{99} (\sqrt{10 + \sqrt{k}} + \sqrt{10 - \sqrt{k}})$

$\frac{S_1}{S_2} = \frac{\sum_{k=1}^{99} \sqrt{10 + \sqrt{k}}}{\sum_{k=1}^{99} \sqrt{10 - \sqrt{k}}}$

ここで、$k=1$から$99$まで足し合わせるので、$\sqrt{10 + \sqrt{k}}$と$\sqrt{10 - \sqrt{k}}$の入れ替えを考えます。

$\frac{\sqrt{10 + \sqrt{k}}}{\sqrt{10 - \sqrt{k}}} = 1$とは言えないので、少し工夫が必要です。

式をよく見ると、$S_1$と$S_2$の総和の添字は$1$から$99$まで動きます。ここで、$k' = 100 - k$ とすると、$k'$も$1$から$99$まで動きます。

$S_1 = \sum_{k=1}^{99} \sqrt{10 + \sqrt{k}} = \sum_{k'=1}^{99} \sqrt{10 + \sqrt{100 - k'}}$

$S_2 = \sum_{k=1}^{99} \sqrt{10 - \sqrt{k}} = \sum_{k'=1}^{99} \sqrt{10 - \sqrt{100 - k'}}$

しかし、これだけでは答えにたどり着けません。

ここで、$k=x^2$とおくと、$x$は自然数でないといけないが、$1$から$99$の全ての自然数が$x^2$になるとは限らないため、難しいです。

問題文より$\sqrt{10+\sqrt{k}}$と$\sqrt{10-\sqrt{k}}$の和や差をとっても簡単にならない。

しかし、この分数全体では、この式は１になる。

$\frac{\sqrt{10 + \sqrt{1}} + \sqrt{10 + \sqrt{2}} + \dots + \sqrt{10 + \sqrt{99}}}{\sqrt{10 - \sqrt{1}} + \sqrt{10 - \sqrt{2}} + \dots + \sqrt{10 - \sqrt{99}}}=1$

$\frac{S_1}{S_2} = 1$

3. 最終的な答え

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