与えられた不定方程式 $95x + 28y = 3$ の整数解を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた不定方程式 $95x + 28y = 3$ の整数解を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、拡張ユークリッドの互除法を用いて、$95x + 28y = 1$ の整数解を求めます。

95 = 28 * 3 + 11

28 = 11 * 2 + 6

11 = 6 * 1 + 5

6 = 5 * 1 + 1

これらを逆順に代入します。

1 = 6 - 5 * 1

1 = 6 - (11 - 6 * 1) * 1 = 6 * 2 - 11 * 1

1 = (28 - 11 * 2) * 2 - 11 * 1 = 28 * 2 - 11 * 5

1 = 28 * 2 - (95 - 28 * 3) * 5 = 28 * 17 - 95 * 5

したがって、$95(-5) + 28(17) = 1$ となります。

この式の両辺に3をかけると

$95(-15) + 28(51) = 3$

が得られます。よって、$x_0 = -15$, $y_0 = 51$ が特殊解の一つです。

一般解は、$95x + 28y = 3$ より、

$95x + 28y = 95(-15) + 28(51)$

$95(x + 15) = 28(51 - y)$

95と28は互いに素なので、$x + 15 = 28k$、$51 - y = 95k$ となる整数 $k$ が存在します。

よって、$x = 28k - 15$、$y = 51 - 95k$ ($k$ は整数) が一般解となります。

3. 最終的な答え

$x = 28k - 15$

$y = 51 - 95k$ ($k$は整数)