極方程式 $r = \frac{1}{3-\cos\theta}$ で表される曲線Cについて、以下の問いに答える問題です。 (1) 曲線Cを直交座標 $(x,y)$ で表す。 (2) 曲線Cの方程式を整理する。 (3) 曲線Cは楕円であることを示す。 (4) 曲線C上の点Pについて、$AP+BP = \frac{12}{13}$ が常に成り立つとき、焦点A, Bを直交座標で表す。

はい、承知しました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

極方程式 $r = \frac{1}{3-\cos\theta}$ で表される曲線Cについて、以下の問いに答える問題です。

(1) 曲線Cを直交座標 $(x,y)$ で表す。

(2) 曲線Cの方程式を整理する。

(3) 曲線Cは楕円であることを示す。

(4) 曲線C上の点Pについて、$AP+BP = \frac{12}{13}$ が常に成り立つとき、焦点A, Bを直交座標で表す。

2. 解き方の手順

(1) $r = \frac{1}{3-\cos\theta}$ より、 $3r - r\cos\theta = 1$。したがって、$3r = r\cos\theta + 1$

極座標と直交座標の関係式 $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$, $r^2 = x^2 + y^2$ を用いて、$3\sqrt{x^2+y^2} = x+1$

両辺を2乗すると、$9(x^2+y^2) = (x+1)^2$。よって、$9x^2 + 9y^2 = x^2 + 2x + 1$

整理すると、$8x^2 - 2x + 9y^2 = 1$。さらに整理して、$8x^2 - 2x + 9y^2 - 1 = 0$

画像より、$2x^2 + 3y^2 - 4x - 5 = 0$ であるため、誤り。問題文の$3r=r\cos\theta+1$は誤りのようです。

問題文の$3r=r\cos\theta+1$を参考にせず、以下の手順で解きます。

$r = \frac{1}{3-\cos\theta}$ より、$3r - r\cos\theta = 1$。

$3r = x+1$。両辺を2乗すると、$9r^2 = (x+1)^2$。

$9(x^2+y^2) = x^2+2x+1$。

$9x^2+9y^2 = x^2+2x+1$。

$8x^2 - 2x + 9y^2 = 1$。

$8x^2 - 2x + 9y^2 - 1 = 0$

(2) $8x^2 - 2x + 9y^2 = 1$ を整理する。

$8(x^2 - \frac{1}{4}x) + 9y^2 = 1$

$8(x - \frac{1}{8})^2 - 8(\frac{1}{64}) + 9y^2 = 1$

$8(x-\frac{1}{8})^2 + 9y^2 = 1 + \frac{1}{8} = \frac{9}{8}$

$\frac{8(x-\frac{1}{8})^2}{\frac{9}{8}} + \frac{9y^2}{\frac{9}{8}} = 1$

$\frac{(x-\frac{1}{8})^2}{\frac{9}{64}} + \frac{y^2}{\frac{1}{8}} = 1$

$(\frac{8}{3}(x-\frac{1}{8}))^2 + (y\sqrt{8})^2 = 1$

$\frac{64}{9} (x-\frac{1}{8})^2 + 8y^2 = 1$

よって、$(\frac{8}{3}(x-\frac{1}{8}))^2 + (\sqrt{8} y)^2 = 1$

$\frac{(x-\frac{1}{8})^2}{\frac{9}{64}} + \frac{y^2}{\frac{1}{8}} = 1$

問題文の形式に合わせると、

$\frac{\frac{64}{9}(x-\frac{1}{8})^2}{1} + \frac{8y^2}{1} = 1$

$\frac{64}{9} (x - \frac{1}{8})^2 + 8y^2 = 1$

よって、問題文の形に合わせると、$\frac{64}{9} (x - \frac{1}{8})^2 + 8y^2 = 1$

(3) 楕円の方程式は、$\frac{(x-x_0)^2}{a^2} + \frac{(y-y_0)^2}{b^2} = 1$ で表され、$a>b$ のとき長軸はx軸に平行、$a<b$ のとき長軸はy軸に平行です。今回の場合は、$\frac{(x-\frac{1}{8})^2}{(\frac{3}{8})^2} + \frac{y^2}{(\frac{1}{\sqrt{8}})^2} = 1$ なので、楕円です。

(4) $AP + BP = 2a = \frac{12}{13}$ より、$a = \frac{6}{13}$。

$\frac{(x-\frac{1}{8})^2}{\frac{9}{64}} + \frac{y^2}{\frac{1}{8}} = 1$ と比較すると、

$a^2 = \frac{9}{64}$ なので $a = \frac{3}{8}$.

$b^2 = \frac{1}{8}$ なので $b = \frac{1}{\sqrt{8}}$.

焦点の座標は、$(\frac{1}{8} \pm \sqrt{a^2-b^2}, 0) = (\frac{1}{8} \pm \sqrt{\frac{9}{64} - \frac{1}{8}}, 0) = (\frac{1}{8} \pm \sqrt{\frac{9-8}{64}}, 0) = (\frac{1}{8} \pm \frac{1}{8}, 0)$

焦点の座標は、$A(0, 0), B(\frac{1}{4}, 0)$。

3. 最終的な答え

(1) $2x^2 + 3y^2 - 4x - 5 = 0$ に当てはまる数は、$8x^2 + 9y^2 - 2x - 1 = 0$ より、2, 3, 4, 5はそれぞれ8, 9, 2, 1

(2) $\frac{6}{7} (\frac{x - \frac{9}{10}}{8})^2 + 11 y^2 = 1$ に当てはまる数は、6, 7, 8, 9, 10, 11はそれぞれ64, 9, 8, 1, 8, 8

(3) $AP+BP = \frac{12}{13}$に当てはまる数は、$\frac{3}{4}$

(4) A($\frac{14}{15}$, 15), B($\frac{16}{17}$, 18) に当てはまる数は、14, 15, 16, 17, 18はそれぞれ0, 0, 1, 4, 0