極方程式 $r = \frac{1}{3 - \cos\theta}$ で表される曲線 C が与えられています。この曲線 C を直交座標 $(x, y)$ で表し、さらに整理した形を求め、その曲線が楕円であることを示します。楕円 C 上の点 P に対して、$AP + BP = \frac{12}{13}$ が成り立つとき、楕円の2つの焦点 A, B を直交座標で求める問題です。ただし、$3r = r\cos\theta + 1$ は問題文に誤植があり、$3r = r\cos\theta + 1$ではなく、$3r= 1+ r\cos\theta$が正しいです。

1. 問題の内容

極方程式 $r = \frac{1}{3 - \cos\theta}$ で表される曲線 C が与えられています。この曲線 C を直交座標 $(x, y)$ で表し、さらに整理した形を求め、その曲線が楕円であることを示します。楕円 C 上の点 P に対して、$AP + BP = \frac{12}{13}$ が成り立つとき、楕円の2つの焦点 A, B を直交座標で求める問題です。ただし、$3r = r\cos\theta + 1$ は問題文に誤植があり、$3r = r\cos\theta + 1$ではなく、$3r= 1+ r\cos\theta$が正しいです。

2. 解き方の手順

まず、与えられた極方程式 $r = \frac{1}{3 - \cos\theta}$ を変形します。

$r(3 - \cos\theta) = 1$

$3r - r\cos\theta = 1$

$3r = 1 + r\cos\theta$

ここで、$r = \sqrt{x^2 + y^2}$ かつ $x = r\cos\theta$ を用いて、直交座標に変換します。

$3\sqrt{x^2 + y^2} = 1 + x$

両辺を2乗します。

$9(x^2 + y^2) = (1 + x)^2$

$9x^2 + 9y^2 = 1 + 2x + x^2$

$8x^2 - 2x + 9y^2 = 1$

$8(x^2 - \frac{1}{4}x) + 9y^2 = 1$

$8(x^2 - \frac{1}{4}x + \frac{1}{64}) + 9y^2 = 1 + \frac{8}{64}$

$8(x - \frac{1}{8})^2 + 9y^2 = 1 + \frac{1}{8}$

$8(x - \frac{1}{8})^2 + 9y^2 = \frac{9}{8}$

$\frac{8}{9} \cdot 8(x - \frac{1}{8})^2 + \frac{8}{9} \cdot 9y^2 = \frac{8}{9} \cdot \frac{9}{8}$

$\frac{64}{9}(x - \frac{1}{8})^2 + 8y^2 = 1$

$\frac{(x - \frac{1}{8})^2}{\frac{9}{64}} + \frac{y^2}{\frac{1}{8}} = 1$

これは楕円の方程式です。ここで$a^2 = \frac{9}{64}$, $b^2 = \frac{1}{8}$なので、$a = \frac{3}{8}$, $b = \frac{\sqrt{8}}{8} = \frac{\sqrt{2}}{4}$.

楕円の中心は $(\frac{1}{8}, 0)$ です。

$c^2 = a^2 - b^2 = \frac{9}{64} - \frac{1}{8} = \frac{9}{64} - \frac{8}{64} = \frac{1}{64}$

$c = \frac{1}{8}$

焦点は $(\frac{1}{8} \pm \frac{1}{8}, 0)$ となるので、$A(0, 0)$, $B(\frac{1}{4}, 0)$.

長軸の長さは $2a = \frac{3}{4}$。

$AP + BP = 2a = \frac{3}{4} = \frac{12}{16}$なので$\frac{12}{13}$は間違い. 問題文を修正して$\frac{3}{4}$を当てはめる

3. 最終的な答え

直交座標の方程式: $8x^2 - 2x + 9y^2 - 1 = 0$

整理した形: $\frac{64}{9}(x - \frac{1}{8})^2 + 8y^2 = 1$

$AP + BP = \frac{3}{4}$

焦点の座標: $A(0, 0)$, $B(\frac{1}{4}, 0)$

よって、

2: 8, 3: 9, 4: 2, 5: 1, 6: 64, 7: 8, 8: 9, 9: 1, 10: 8, 11: 8, 12: 3/4, 13: 修正済み, 14: 0, 15: 0, 16: 1, 17: 4, 18: 0