$\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sqrt{x+1}-1}$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sqrt{x+1}-1}$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

分母に $\sqrt{x+1}-1$ があるため、このままでは $x \to 0$ のとき $0/0$ の不定形となります。そこで、分母を有理化するために、分母と分子に $\sqrt{x+1}+1$ を掛けます。

$\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sqrt{x+1}-1} = \lim_{x \to 0} \frac{x (\sqrt{x+1}+1)}{(\sqrt{x+1}-1)(\sqrt{x+1}+1)}$

分母を計算します。

$(\sqrt{x+1}-1)(\sqrt{x+1}+1) = (x+1) - 1 = x$

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{x (\sqrt{x+1}+1)}{x} = \lim_{x \to 0} (\sqrt{x+1}+1)$

$x \to 0$ を代入すると、

$\sqrt{0+1}+1 = \sqrt{1}+1 = 1+1 = 2$

3. 最終的な答え

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