関数 $f(x) = \log_{\sqrt{e}} \frac{x}{\sqrt{e}} \cdot \log_{e^4} x^2$ について、以下の問いに答える問題です。 (1) $f'(x)$ と $f''(x)$ を求める。 (2) $f(x)$ が最小値をとる $x$ の値とその最小値を求める。 (3) 曲線 $y = f(x)$ の変曲点を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \log_{\sqrt{e}} \frac{x}{\sqrt{e}} \cdot \log_{e^4} x^2$ について、以下の問いに答える問題です。

(1) $f'(x)$ と $f''(x)$ を求める。

(2) $f(x)$ が最小値をとる $x$ の値とその最小値を求める。

(3) 曲線 $y = f(x)$ の変曲点を求める。

2. 解き方の手順

(1) まず、$f(x)$ を簡単にする。

$f(x) = \log_{\sqrt{e}} \frac{x}{\sqrt{e}} \cdot \log_{e^4} x^2 = \frac{\log \frac{x}{\sqrt{e}}}{\log \sqrt{e}} \cdot \frac{\log x^2}{\log e^4} = \frac{\log x - \log \sqrt{e}}{\frac{1}{2}\log e} \cdot \frac{2 \log x}{4 \log e} = \frac{\log x - \frac{1}{2}}{1/2} \cdot \frac{2 \log x}{4} = (2 \log x - 1) \cdot \frac{1}{2} \log x = (\log x)^2 - \frac{1}{2} \log x$

$f(x) = (\log x)^2 - \frac{1}{2} \log x$

次に、$f'(x)$ を求める。

$f'(x) = 2 (\log x) \cdot \frac{1}{x} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{x} (2 \log x - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2x} (4 \log x - 1)$

$f'(x) = \frac{1}{x} (2 \log x - \frac{1}{2}) = \frac{1}{x} (\frac{4 \log x - 1}{2})$

$f''(x)$ を求める。

$f''(x) = -\frac{1}{2x^2} (4 \log x - 1) + \frac{1}{2x} \cdot \frac{4}{x} = -\frac{4 \log x - 1}{2x^2} + \frac{4}{2x^2} = \frac{-4 \log x + 1 + 4}{2x^2} = \frac{1}{2x^2} (-4 \log x + 5) = \frac{1}{2x^2}(5-4 \log x)$.

よって，$f'(x) = \frac{1}{x}(2 \log x - \frac{1}{2})$ であり、$f''(x) = \frac{1}{2x^2}(-4 \log x + 5)$ となる。

(2) $f'(x) = 0$ となる $x$ を求める。$2 \log x - \frac{1}{2} = 0$ より $\log x = \frac{1}{4}$。よって $x = e^{\frac{1}{4}}$.

$f'(x)$ の符号を調べると、$x < e^{\frac{1}{4}}$ のとき、$f'(x) < 0$、$x > e^{\frac{1}{4}}$ のとき、$f'(x) > 0$ となるので、$x = e^{\frac{1}{4}}$ で最小値をとる。

$f(e^{\frac{1}{4}}) = (\log e^{\frac{1}{4}})^2 - \frac{1}{2} \log e^{\frac{1}{4}} = (\frac{1}{4})^2 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{16} - \frac{1}{8} = -\frac{1}{16}$

(3) $f''(x) = 0$ となる $x$ を求める。$-4 \log x + 5 = 0$ より $\log x = \frac{5}{4}$。よって $x = e^{\frac{5}{4}}$.

$f''(x)$ の符号を調べると、$x < e^{\frac{5}{4}}$ のとき、$f''(x) > 0$、$x > e^{\frac{5}{4}}$ のとき、$f''(x) < 0$ となるので、$x = e^{\frac{5}{4}}$ で変曲点となる。

$f(e^{\frac{5}{4}}) = (\log e^{\frac{5}{4}})^2 - \frac{1}{2} \log e^{\frac{5}{4}} = (\frac{5}{4})^2 - \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{4} = \frac{25}{16} - \frac{5}{8} = \frac{25}{16} - \frac{10}{16} = \frac{15}{16}$

よって、変曲点は $(e^{\frac{5}{4}}, \frac{15}{16})$.

3. 最終的な答え

(1) $f'(x) = \frac{1}{x} (\frac{4}{2} \log x - \frac{1}{2})$, $f''(x) = \frac{1}{2x^2} (\frac{-4}{4} \log x + \frac{5}{5})$

(2) $x = e^{\frac{1}{4}}$ で最小値 $-\frac{1}{16}$ をとる。

(3) 変曲点は $(e^{\frac{5}{4}}, \frac{15}{16})$ である。