$\lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x+1}+2a}{x-3}$ が有限の値を持つように定数 $a$ の値を定め、その極限値を求めよ。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x+1}+2a}{x-3}$ が有限の値を持つように定数 $a$ の値を定め、その極限値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$x \to 3$ のとき、分母 $x-3$ は $0$ に近づきます。

このとき、極限が有限の値を持つためには、分子 $\sqrt{x+1} + 2a$ も $0$ に近づく必要があります。

なぜなら、分子が0に近づかない場合、$\frac{0でない数}{0}$ の形になり、極限は発散してしまうからです。

したがって、

$\lim_{x \to 3} (\sqrt{x+1} + 2a) = 0$

が成り立つ必要があります。

$x=3$ を代入すると、

$\sqrt{3+1} + 2a = \sqrt{4} + 2a = 2 + 2a = 0$

よって、

$2a = -2$

$a = -1$

これで、$a$ の値が求まりました。

次に、$a = -1$ を代入して、極限を計算します。

$\lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x+1} - 2}{x-3}$

このままでは不定形（$\frac{0}{0}$）なので、分子を有理化します。

$\lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x+1} - 2}{x-3} = \lim_{x \to 3} \frac{(\sqrt{x+1} - 2)(\sqrt{x+1} + 2)}{(x-3)(\sqrt{x+1} + 2)}$

$= \lim_{x \to 3} \frac{(x+1) - 4}{(x-3)(\sqrt{x+1} + 2)} = \lim_{x \to 3} \frac{x-3}{(x-3)(\sqrt{x+1} + 2)}$

$= \lim_{x \to 3} \frac{1}{\sqrt{x+1} + 2}$

$x \to 3$ を代入すると、

$\frac{1}{\sqrt{3+1} + 2} = \frac{1}{\sqrt{4} + 2} = \frac{1}{2+2} = \frac{1}{4}$

3. 最終的な答え

$a = -1$ のとき、極限値は $\frac{1}{4}$ となる。