極限 $\lim_{x \to -1} \frac{a\sqrt{x+2} + b}{x+1} = 1$ が与えられています。このとき、$a$と$b$の値を求めます。

1. 問題の内容

極限 $\lim_{x \to -1} \frac{a\sqrt{x+2} + b}{x+1} = 1$ が与えられています。このとき、$a$と$b$の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$x \to -1$ のとき、分母 $x+1 \to 0$ となります。極限が存在して有限の値を持つためには、分子も $x \to -1$ のとき $0$ に収束する必要があります。したがって、

$$a\sqrt{-1+2} + b = 0$$

$$a + b = 0$$

$$b = -a$$

これを元の式に代入します。

$$\lim_{x \to -1} \frac{a\sqrt{x+2} - a}{x+1} = 1$$

$a$を括り出します。

$$\lim_{x \to -1} \frac{a(\sqrt{x+2} - 1)}{x+1} = 1$$

ここで、$\sqrt{x+2} - 1$ の共役な式である $\sqrt{x+2} + 1$ を分子と分母に掛けます。

$$\lim_{x \to -1} \frac{a(\sqrt{x+2} - 1)(\sqrt{x+2} + 1)}{(x+1)(\sqrt{x+2} + 1)} = 1$$

$$\lim_{x \to -1} \frac{a(x+2 - 1)}{(x+1)(\sqrt{x+2} + 1)} = 1$$

$$\lim_{x \to -1} \frac{a(x+1)}{(x+1)(\sqrt{x+2} + 1)} = 1$$

$x+1$ を約分します。

$$\lim_{x \to -1} \frac{a}{\sqrt{x+2} + 1} = 1$$

$x \to -1$ の極限を取ります。

$$\frac{a}{\sqrt{-1+2} + 1} = 1$$

$$\frac{a}{1+1} = 1$$

$$\frac{a}{2} = 1$$

$$a = 2$$

$b = -a$ より、

$$b = -2$$

3. 最終的な答え

$a = 2$

$b = -2$