(1) $\lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x+1} + 2a}{x-3}$ が有限な値を持つように定数 $a$ の値を定め、その極限値を求めよ。 (2) $\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x+a} - 1}{x-2}$ が有限な値を持つように定数 $a$ の値を定め、その極限値を求めよ。

1. 問題の内容

(1) $\lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x+1} + 2a}{x-3}$ が有限な値を持つように定数 $a$ の値を定め、その極限値を求めよ。

(2) $\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x+a} - 1}{x-2}$ が有限な値を持つように定数 $a$ の値を定め、その極限値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x+1} + 2a}{x-3}$ が有限な値を持つためには、$x \to 3$ のとき分母が $0$ に近づくので、分子も $0$ に近づく必要がある。

したがって、$\sqrt{3+1} + 2a = 0$ でなければならない。

$\sqrt{4} + 2a = 0$ より、 $2 + 2a = 0$ となり、$a = -1$ である。

このとき、

$\lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x+1} - 2}{x-3} = \lim_{x \to 3} \frac{(\sqrt{x+1} - 2)(\sqrt{x+1} + 2)}{(x-3)(\sqrt{x+1} + 2)} = \lim_{x \to 3} \frac{x+1 - 4}{(x-3)(\sqrt{x+1} + 2)} = \lim_{x \to 3} \frac{x-3}{(x-3)(\sqrt{x+1} + 2)} = \lim_{x \to 3} \frac{1}{\sqrt{x+1} + 2} = \frac{1}{\sqrt{3+1} + 2} = \frac{1}{\sqrt{4} + 2} = \frac{1}{2+2} = \frac{1}{4}$

(2) $\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x+a} - 1}{x-2}$ が有限な値を持つためには、$x \to 2$ のとき分母が $0$ に近づくので、分子も $0$ に近づく必要がある。

したがって、$\sqrt{2+a} - 1 = 0$ でなければならない。

$\sqrt{2+a} = 1$ より、 $2+a = 1$ となり、$a = -1$ である。

このとき、

$\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x-1} - 1}{x-2} = \lim_{x \to 2} \frac{(\sqrt{x-1} - 1)(\sqrt{x-1} + 1)}{(x-2)(\sqrt{x-1} + 1)} = \lim_{x \to 2} \frac{x-1 - 1}{(x-2)(\sqrt{x-1} + 1)} = \lim_{x \to 2} \frac{x-2}{(x-2)(\sqrt{x-1} + 1)} = \lim_{x \to 2} \frac{1}{\sqrt{x-1} + 1} = \frac{1}{\sqrt{2-1} + 1} = \frac{1}{\sqrt{1} + 1} = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $a = -1$, 極限値 = $\frac{1}{4}$

(2) $a = -1$, 極限値 = $\frac{1}{2}$