$\sin 105^\circ$ の値を $\frac{\sqrt{A} + \sqrt{B}}{\sqrt{6}}$ の形で表すとき、$A$と$B$の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$\sin 105^\circ$ の値を $\frac{\sqrt{A} + \sqrt{B}}{\sqrt{6}}$ の形で表すとき、$A$と$B$の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\sin 105^\circ$ を加法定理を用いて計算します。

$105^\circ = 60^\circ + 45^\circ$ と分解できるので、

$$\sin 105^\circ = \sin (60^\circ + 45^\circ) = \sin 60^\circ \cos 45^\circ + \cos 60^\circ \sin 45^\circ$$

$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$, $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$ を代入すると、

$$\sin 105^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$$

ここで、分母を有理化するために、分子と分母に $\sqrt{6}$ を掛けます。

$$\sin 105^\circ = \frac{(\sqrt{6} + \sqrt{2}) \cdot \sqrt{6}}{4 \sqrt{6}} = \frac{6 + \sqrt{12}}{4 \sqrt{6}} = \frac{6 + 2 \sqrt{3}}{4 \sqrt{6}} = \frac{3 + \sqrt{3}}{2 \sqrt{6}}$$

さらに分母を有理化するために、分子と分母に $\sqrt{6}$ を掛けます。

$$\sin 105^\circ = \frac{(3 + \sqrt{3}) \cdot \sqrt{6}}{2 \sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{3 \sqrt{6} + \sqrt{18}}{12} = \frac{3 \sqrt{6} + 3 \sqrt{2}}{12} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$$

または

$$\sin 105^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{\sqrt{16}} = \frac{\sqrt{(\sqrt{6} + \sqrt{2})^2}}{\sqrt{16}} = \frac{\sqrt{6 + 2 + 2 \sqrt{12}}}{\sqrt{16}} = \frac{\sqrt{8 + 4 \sqrt{3}}}{4} = \frac{\sqrt{8 + 2 \sqrt{12}}}{4}$$

2重根号を外すことを考えます。

$8 + 2 \sqrt{12} = 8 + 2 \sqrt{4 \cdot 3} = 8 + 4\sqrt{3} = (a + b) + 2 \sqrt{ab}$ とおくと、$a+b = 8$, $ab=12$. $a=6, b=2$とすると、$a+b=8$, $ab=12$.

したがって、$\sqrt{8 + 2\sqrt{12}} = \sqrt{6} + \sqrt{2}$

$\sin 105^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

ここで、$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2} (\sqrt{3} + 1)}{4}$.

$105^\circ$のsinの値は、$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ で、与えられた形 $\frac{\sqrt{A} + \sqrt{B}}{\sqrt{6}}$ と比較する必要がある。

$\sin 105^{\circ} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{36} + \sqrt{12}}{4 \sqrt{6}} = \frac{6 + 2 \sqrt{3}}{4 \sqrt{6}} = \frac{3 + \sqrt{3}}{2 \sqrt{6}} = \frac{\sqrt{9} + \sqrt{3}}{2 \sqrt{6}}$

$\frac{\sqrt{A} + \sqrt{B}}{\sqrt{6}}$の形にする

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{\sqrt{16}} = \sqrt{\frac{6 + 2 + 2 \sqrt{12}}{16}} = \sqrt{\frac{8 + 4 \sqrt{3}}{16}}$

与えられた形にするために、$\frac{\sqrt{4} + \sqrt{5}}{\sqrt{6}} = \frac{2 + \sqrt{5}}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6} (2 + \sqrt{5})}{6} = \frac{2 \sqrt{6} + \sqrt{30}}{6}$

$\frac{\sqrt{A} + \sqrt{B}}{\sqrt{6}}$の形にするために,分母を$\sqrt{6}$に合わせる

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{36} + \sqrt{12}}{4\sqrt{6}} = \frac{6 + 2\sqrt{3}}{4 \sqrt{6}}$

$\frac{\sqrt{4} + \sqrt{2}}{\sqrt{6}}$の可能性は、$\frac{2 + \sqrt{2}}{\sqrt{6}} = \frac{2 \sqrt{6} + \sqrt{12}}{6} = \frac{2\sqrt{6} + 2\sqrt{3}}{6}$

$\frac{\sqrt{4} + \sqrt{5}}{\sqrt{6}} = \frac{2+\sqrt{5}}{\sqrt{6}} = \frac{2\sqrt{6} + \sqrt{30}}{6}$

$\frac{\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$を変形すると

$\sin{105} = \sin{(45+60)} = \sin{45}\cos{60}+\cos{45}\sin{60} = \frac{\sqrt{2}}{2}\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$

3. 最終的な答え

したがって、$\sin 105^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$. 問題の形式 $\frac{\sqrt{4}+\sqrt{5}}{\sqrt{6}}$ ではない。しかし、質問では $\frac{\sqrt{\boxed{4}} + \sqrt{\boxed{5}}}{\boxed{6}}$ と書かれている。しかし、値は $\sin 105^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$.

問題文の形式に当てはまらないため、問題に誤りがある可能性がある。

もし、問題の形式 $\frac{\sqrt{x} + \sqrt{y}}{z}$に直すなら、$x=6$, $y=2$, $z=4$.

最終的な答え：$\sin 105^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$