三角形ABCにおいて、$a=3$, $B=45^\circ$, $C=75^\circ$であるとき、外接円の半径Rを求める問題です。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$a=3$, $B=45^\circ$, $C=75^\circ$であるとき、外接円の半径Rを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、三角形の内角の和が$180^\circ$であることから、角Aを求めます。

$A = 180^\circ - B - C = 180^\circ - 45^\circ - 75^\circ = 60^\circ$

次に、正弦定理を用います。正弦定理とは、三角形の各辺の長さと、その対角のサインの比が等しいという定理です。特に外接円の半径Rとの関係は次のようになります。

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$

今回は、$a$と$A$がわかっているので、

$\frac{a}{\sin A} = 2R$

を用いてRを計算します。

$R = \frac{a}{2 \sin A}$

$R = \frac{3}{2 \sin 60^\circ}$

$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$なので、

$R = \frac{3}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}$

$R = \frac{3}{\sqrt{3}}$

$R = \frac{3 \sqrt{3}}{3}$

$R = \sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$\sqrt{3}$