一辺の長さが $a$ の正六角形 ABCDEF において、次の内積をそれぞれ求めよ。 $\vec{AD} \cdot \vec{BF}$, $\vec{AD} \cdot \vec{BD}$, $\vec{AD} \cdot \vec{CF}$

1. 問題の内容

一辺の長さが $a$ の正六角形 ABCDEF において、次の内積をそれぞれ求めよ。

$\vec{AD} \cdot \vec{BF}$, $\vec{AD} \cdot \vec{BD}$, $\vec{AD} \cdot \vec{CF}$

2. 解き方の手順

正六角形なので、$\vec{AD}$ は $\vec{AF}$ と $\vec{AB}$ の和で表せます。

また、正六角形の中心をOとすると、$\vec{AD}=2\vec{AO}$ となります。

$\vec{AO}$ の長さは $a$ に等しいです。したがって、$|\vec{AD}| = 2a$ です。

(1) $\vec{AD} \cdot \vec{BF}$

$\vec{AD}$ と $\vec{BF}$ のなす角は90度なので、

$\vec{AD} \cdot \vec{BF} = |\vec{AD}| |\vec{BF}| \cos{90^\circ} = 2a \cdot (\sqrt{3} a) \cdot 0 = 0$

(2) $\vec{AD} \cdot \vec{BD}$

$\vec{AD}$ と $\vec{BD}$ のなす角を $\theta$ とすると、$\theta = 30^\circ$ です。

$|\vec{BD}| = \sqrt{a^2 + (2a)^2 - 2 \cdot a \cdot 2a \cos{120^\circ}} = \sqrt{a^2 + 4a^2 + 2a^2} = \sqrt{7}a$ となります。

しかし、これは誤りです。

$\vec{BD}=\vec{BA}+\vec{AD}$と分解します。

$\vec{AD}\cdot\vec{BD}=\vec{AD}\cdot(\vec{BA}+\vec{AD})=\vec{AD}\cdot\vec{BA}+|\vec{AD}|^2=|\vec{AD}|\cdot|\vec{BA}|\cdot\cos{120^\circ}+(2a)^2=2a\cdot a\cdot(-\frac{1}{2})+4a^2=-a^2+4a^2=3a^2$

(3) $\vec{AD} \cdot \vec{CF}$

$\vec{CF}=\vec{CD}+\vec{DF}$と分解します。正六角形の中心をOとすると、

$\vec{CF}=2\vec{DO}$

$\vec{AD} \cdot \vec{CF} = |\vec{AD}||\vec{CF}| \cos 0^\circ = 2a \cdot (2a) \cdot (-1) = -4a^2$

$\vec{AD}と\vec{CF}$は平行で逆向きなので、$\vec{AD} \cdot \vec{CF} = -|\vec{AD}||\vec{CF}|=-2a\cdot 2a = -4a^2$

3. 最終的な答え

$\vec{AD} \cdot \vec{BF} = 0$

$\vec{AD} \cdot \vec{BD} = 3a^2$

$\vec{AD} \cdot \vec{CF} = -4a^2$