三角形ABCがあり、点A, B, Cの位置ベクトルはそれぞれ$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$である。辺ABの中点をD, 辺BCを2:1に内分する点をE, 辺CAを3:1に内分する点をFとする。 (1) $\overrightarrow{AC}$を$\vec{a}, \vec{c}$を用いて表せ。 (2) $\overrightarrow{BE}$を$\vec{b}, \vec{c}$を用いて表せ。

1. 問題の内容

三角形ABCがあり、点A, B, Cの位置ベクトルはそれぞれ$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$である。辺ABの中点をD, 辺BCを2:1に内分する点をE, 辺CAを3:1に内分する点をFとする。

(1) $\overrightarrow{AC}$を$\vec{a}, \vec{c}$を用いて表せ。

(2) $\overrightarrow{BE}$を$\vec{b}, \vec{c}$を用いて表せ。

2. 解き方の手順

(1) $\overrightarrow{AC}$ は、位置ベクトルの定義より、

$\overrightarrow{AC} = \vec{c} - \vec{a}$

となる。

(2) 点Eは辺BCを2:1に内分する点なので、

$\overrightarrow{BE} = \frac{2}{3} \overrightarrow{BC}$

$\overrightarrow{BC}$は、位置ベクトルの定義より

$\overrightarrow{BC} = \vec{c} - \vec{b}$

したがって

$\overrightarrow{BE} = \frac{2}{3}(\vec{c} - \vec{b}) = \frac{2}{3}\vec{c} - \frac{2}{3}\vec{b} = -\frac{2}{3}\vec{b} + \frac{2}{3}\vec{c}$

3. 最終的な答え

(1) $\overrightarrow{AC} = \vec{c} - \vec{a}$

(2) $\overrightarrow{BE} = -\frac{2}{3}\vec{b} + \frac{2}{3}\vec{c}$