三角形ABCがあり、頂点をそれぞれA($\vec{a}$), B($\vec{b}$), C($\vec{c}$)とする。 辺ABの中点をD、辺BCを2:1に内分する点をE、辺CAを3:1に内分する点をFとする。 (1) $\vec{AC}$を$\vec{a}$と$\vec{c}$を用いて表す。 (2) $\vec{BE}$を$\vec{a}$、$\vec{b}$、$\vec{c}$を用いて表す。 (3) $\vec{CD}$を$\vec{a}$、$\vec{b}$、$\vec{c}$を用いて表す。 (4) $\vec{AE}$を$\vec{a}$、$\vec{b}$、$\vec{c}$を用いて表す。

1. 問題の内容

三角形ABCがあり、頂点をそれぞれA($\vec{a}$), B($\vec{b}$), C($\vec{c}$)とする。

辺ABの中点をD、辺BCを2:1に内分する点をE、辺CAを3:1に内分する点をFとする。

(1) $\vec{AC}$を$\vec{a}$と$\vec{c}$を用いて表す。

(2) $\vec{BE}$を$\vec{a}$、$\vec{b}$、$\vec{c}$を用いて表す。

(3) $\vec{CD}$を$\vec{a}$、$\vec{b}$、$\vec{c}$を用いて表す。

(4) $\vec{AE}$を$\vec{a}$、$\vec{b}$、$\vec{c}$を用いて表す。

2. 解き方の手順

(1) $\vec{AC}$は、位置ベクトルの差で表せる。

$\vec{AC} = \vec{c} - \vec{a}$

(2) 点Eは辺BCを2:1に内分するので、位置ベクトル$\vec{e}$は

$\vec{e} = \frac{1\vec{b} + 2\vec{c}}{2+1} = \frac{\vec{b} + 2\vec{c}}{3}$

$\vec{BE} = \vec{e} - \vec{b} = \frac{\vec{b} + 2\vec{c}}{3} - \vec{b} = \frac{\vec{b} + 2\vec{c} - 3\vec{b}}{3} = \frac{2\vec{c} - 2\vec{b}}{3} = \frac{2}{3}(\vec{c}-\vec{b})$

(3) 点Dは辺ABの中点なので、位置ベクトル$\vec{d}$は

$\vec{d} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$

$\vec{CD} = \vec{d} - \vec{c} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2} - \vec{c} = \frac{\vec{a} + \vec{b} - 2\vec{c}}{2}$

(4) 点Eは辺BCを2:1に内分するので、位置ベクトル$\vec{e}$は

$\vec{e} = \frac{1\vec{b} + 2\vec{c}}{2+1} = \frac{\vec{b} + 2\vec{c}}{3}$

$\vec{AE} = \vec{e} - \vec{a} = \frac{\vec{b} + 2\vec{c}}{3} - \vec{a} = \frac{\vec{b} + 2\vec{c} - 3\vec{a}}{3} = -\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b} + \frac{2}{3}\vec{c}$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{AC} = \vec{c} - \vec{a}$

(2) $\vec{BE} = \frac{2}{3}(\vec{c}-\vec{b})$

(3) $\vec{CD} = \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b} - \vec{c} = \frac{\vec{a} + \vec{b} - 2\vec{c}}{2}$

(4) $\vec{AE} = -\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b} + \frac{2}{3}\vec{c} = \frac{-3\vec{a}+\vec{b}+2\vec{c}}{3}$