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$\frac{\sin x + \cos x}{\cos x - \sin x}$ を計算し、その結果を $\tan(x + \frac{\pi}{4})$ の形で表す問題です。

解析学三角関数加法定理tansincos
2025/5/17

1. 問題の内容

sin⁡x+cos⁡xcos⁡x−sin⁡x\frac{\sin x + \cos x}{\cos x - \sin x} を計算し、その結果を tan⁡(x+π4)\tan(x + \frac{\pi}{4}) の形で表す問題です。

2. 解き方の手順

まず、sin⁡x+cos⁡xcos⁡x−sin⁡x\frac{\sin x + \cos x}{\cos x - \sin x} の分子と分母を cos⁡x\cos x で割ります。
sin⁡x+cos⁡xcos⁡x−sin⁡x=sin⁡xcos⁡x+cos⁡xcos⁡xcos⁡xcos⁡x−sin⁡xcos⁡x=tan⁡x+11−tan⁡x\frac{\sin x + \cos x}{\cos x - \sin x} = \frac{\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\cos x}}{\frac{\cos x}{\cos x} - \frac{\sin x}{\cos x}} = \frac{\tan x + 1}{1 - \tan x}
次に、tan⁡(x+π4)\tan(x + \frac{\pi}{4}) の加法定理を利用します。
tan⁡(x+π4)=tan⁡x+tan⁡π41−tan⁡xtan⁡π4\tan(x + \frac{\pi}{4}) = \frac{\tan x + \tan \frac{\pi}{4}}{1 - \tan x \tan \frac{\pi}{4}}
tan⁡π4=1\tan \frac{\pi}{4} = 1 なので、
tan⁡(x+π4)=tan⁡x+11−tan⁡x\tan(x + \frac{\pi}{4}) = \frac{\tan x + 1}{1 - \tan x}
したがって、sin⁡x+cos⁡xcos⁡x−sin⁡x=tan⁡x+11−tan⁡x=tan⁡(x+π4)\frac{\sin x + \cos x}{\cos x - \sin x} = \frac{\tan x + 1}{1 - \tan x} = \tan(x + \frac{\pi}{4}) となります。

3. 最終的な答え

tan⁡(x+π4)\tan(x + \frac{\pi}{4})

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