次の関数の導関数を求める。ただし、(4), (5)は対数微分法を利用する。 2) $f(x) = \arctan{\frac{\sin x + \cos x}{\cos x - \sin x}}$ 3) $f(x) = \log{\frac{\sqrt{1+x^2}-x}{\sqrt{1+x^2}+x}}$ 4) $f(x) = x^{\arctan{(2x)}}$ 5) $f(x) = \left( \frac{x^3+x^2+1}{(x-2)(x^4+1)(x^5+1)} \right)^{1/5}$

1. 問題の内容

次の関数の導関数を求める。ただし、(4), (5)は対数微分法を利用する。

2) $f(x) = \arctan{\frac{\sin x + \cos x}{\cos x - \sin x}}$

3) $f(x) = \log{\frac{\sqrt{1+x^2}-x}{\sqrt{1+x^2}+x}}$

4) $f(x) = x^{\arctan{(2x)}}$

5) $f(x) = \left( \frac{x^3+x^2+1}{(x-2)(x^4+1)(x^5+1)} \right)^{1/5}$

2. 解き方の手順

2) $f(x) = \arctan{\frac{\sin x + \cos x}{\cos x - \sin x}}$

$\frac{\sin x + \cos x}{\cos x - \sin x}$ の分子と分母を $\cos x$ で割ると、

$\frac{\sin x + \cos x}{\cos x - \sin x} = \frac{\tan x + 1}{1 - \tan x} = \tan(x + \frac{\pi}{4})$

したがって、$f(x) = \arctan{\tan(x + \frac{\pi}{4})} = x + \frac{\pi}{4}$

$f'(x) = 1$

3) $f(x) = \log{\frac{\sqrt{1+x^2}-x}{\sqrt{1+x^2}+x}}$

$f(x) = \log{(\sqrt{1+x^2}-x)} - \log{(\sqrt{1+x^2}+x)}$

$f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}-x} \cdot (\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}-1) - \frac{1}{\sqrt{1+x^2}+x} \cdot (\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}+1)$

$= \frac{1}{\sqrt{1+x^2}-x} \cdot \frac{x-\sqrt{1+x^2}}{\sqrt{1+x^2}} - \frac{1}{\sqrt{1+x^2}+x} \cdot \frac{x+\sqrt{1+x^2}}{\sqrt{1+x^2}}$

$= \frac{-1}{\sqrt{1+x^2}} - \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} = \frac{-2}{\sqrt{1+x^2}}$

4) $f(x) = x^{\arctan{(2x)}}$

$\log{f(x)} = \arctan{(2x)} \log{x}$

$\frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{2}{1+4x^2} \log{x} + \frac{\arctan{(2x)}}{x}$

$f'(x) = x^{\arctan{(2x)}} \left( \frac{2\log{x}}{1+4x^2} + \frac{\arctan{(2x)}}{x} \right)$

5) $f(x) = \left( \frac{x^3+x^2+1}{(x-2)(x^4+1)(x^5+1)} \right)^{1/5}$

$\log{f(x)} = \frac{1}{5} \left( \log{(x^3+x^2+1)} - \log{(x-2)} - \log{(x^4+1)} - \log{(x^5+1)} \right)$

$\frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{1}{5} \left( \frac{3x^2+2x}{x^3+x^2+1} - \frac{1}{x-2} - \frac{4x^3}{x^4+1} - \frac{5x^4}{x^5+1} \right)$

$f'(x) = \frac{1}{5} \left( \frac{x^3+x^2+1}{(x-2)(x^4+1)(x^5+1)} \right)^{1/5} \left( \frac{3x^2+2x}{x^3+x^2+1} - \frac{1}{x-2} - \frac{4x^3}{x^4+1} - \frac{5x^4}{x^5+1} \right)$

3. 最終的な答え

2) $f'(x) = 1$

3) $f'(x) = \frac{-2}{\sqrt{1+x^2}}$

4) $f'(x) = x^{\arctan{(2x)}} \left( \frac{2\log{x}}{1+4x^2} + \frac{\arctan{(2x)}}{x} \right)$

5) $f'(x) = \frac{1}{5} \left( \frac{x^3+x^2+1}{(x-2)(x^4+1)(x^5+1)} \right)^{1/5} \left( \frac{3x^2+2x}{x^3+x^2+1} - \frac{1}{x-2} - \frac{4x^3}{x^4+1} - \frac{5x^4}{x^5+1} \right)$