三角形ABCがあり、辺BC, CA, AB上にそれぞれ点P, Q, Rがあります。Qは辺CAの中点であり、$\frac{\triangle ARQ}{\triangle ABC} = \frac{1}{6}$, $\frac{\triangle BPQ}{\triangle ABC} = \frac{1}{5}$を満たしています。APとBQの交点をD, BQとCRの交点をE, CRとAPの交点をFとするとき、以下の問いに答えます。 (1) $\overrightarrow{AR}$を$\overrightarrow{AB}$で表します。 (2) $\overrightarrow{AP}$と$\overrightarrow{BQ}$を$\overrightarrow{AB}$と$\overrightarrow{AC}$で表します。 (3) $\overrightarrow{AD}$と$\overrightarrow{DE}$を$\overrightarrow{AB}$と$\overrightarrow{AC}$で表します。 (4) $\frac{\triangle DEF}{\triangle ABC}$を求めます。

1. 問題の内容

三角形ABCがあり、辺BC, CA, AB上にそれぞれ点P, Q, Rがあります。Qは辺CAの中点であり、$\frac{\triangle ARQ}{\triangle ABC} = \frac{1}{6}$, $\frac{\triangle BPQ}{\triangle ABC} = \frac{1}{5}$を満たしています。APとBQの交点をD, BQとCRの交点をE, CRとAPの交点をFとするとき、以下の問いに答えます。

(1) $\overrightarrow{AR}$を$\overrightarrow{AB}$で表します。

(2) $\overrightarrow{AP}$と$\overrightarrow{BQ}$を$\overrightarrow{AB}$と$\overrightarrow{AC}$で表します。

(3) $\overrightarrow{AD}$と$\overrightarrow{DE}$を$\overrightarrow{AB}$と$\overrightarrow{AC}$で表します。

(4) $\frac{\triangle DEF}{\triangle ABC}$を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $\frac{\triangle ARQ}{\triangle ABC} = \frac{1}{6}$より、$\frac{AR \cdot AQ}{AB \cdot AC} = \frac{1}{6}$。QはCAの中点なので、$AQ = \frac{1}{2}AC$。よって、$\frac{AR \cdot \frac{1}{2}AC}{AB \cdot AC} = \frac{1}{6}$。$\frac{AR}{2AB} = \frac{1}{6}$となり、$AR = \frac{1}{3}AB$。したがって、$\overrightarrow{AR} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$。

(2) $\frac{\triangle BPQ}{\triangle ABC} = \frac{1}{5}$より、\frac{BP}{BC} \cdot \frac{BQ}{BA} \cdot \sin(\angle B)}{\sin(\angle B)} = \frac{1}{5}。$\frac{BP}{BC}=\frac{2}{5}$

点PはBCを2:3に内分するので、$\overrightarrow{AP} = \frac{3\overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AC}}{5} = \frac{3}{5}\overrightarrow{AB} + \frac{2}{5}\overrightarrow{AC}$。

同様に、$\frac{\triangle BPQ}{\triangle ABC} = \frac{1}{5}$より、$\frac{BP}{BC} \frac{BQ}{BA} sinB = \frac{1}{5}$. $AQ=\frac{1}{2}AC$, $\triangle ABQ=\frac{1}{2}\triangle ABC$, $\triangle BPQ=\frac{1}{5}\triangle ABC$

$\frac{\triangle BPQ}{\triangle ABQ}=\frac{BP}{BC}=\frac{2}{5}$, $BP:PC=2:3$

$\frac{\triangle BPQ}{\triangle ABC}= \frac{1}{5}$, $Q$は$AC$の中点なので$\overrightarrow{AQ}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$

$r=\frac{CQ}{CA}=\frac{1}{2}$

$\overrightarrow{BQ}=\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AQ}=-\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$

(3) $\overrightarrow{AD}$と$\overrightarrow{DE}$を求めます。

$\overrightarrow{AD} = s\overrightarrow{AP}$, $\overrightarrow{BD} = t\overrightarrow{BQ}$. よって、

$\overrightarrow{AD} = s(\frac{3}{5}\overrightarrow{AB} + \frac{2}{5}\overrightarrow{AC}) = \overrightarrow{AB} + t\overrightarrow{BQ} = \overrightarrow{AB} + t(-\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}) = (1-t)\overrightarrow{AB} + \frac{t}{2}\overrightarrow{AC}$。

係数を比較して、$\frac{3}{5}s = 1-t$, $\frac{2}{5}s = \frac{t}{2}$。

$\frac{4}{5}s = t$なので、$\frac{3}{5}s = 1-\frac{4}{5}s$。$\frac{7}{5}s = 1$。$s = \frac{5}{7}$。

$\overrightarrow{AD} = \frac{5}{7}\overrightarrow{AP} = \frac{5}{7}(\frac{3}{5}\overrightarrow{AB} + \frac{2}{5}\overrightarrow{AC}) = \frac{3}{7}\overrightarrow{AB} + \frac{2}{7}\overrightarrow{AC}$。

$t=\frac{4}{5} \cdot \frac{5}{7} = \frac{4}{7}$, $\overrightarrow{BD} = \frac{4}{7}\overrightarrow{BQ}$

$\overrightarrow{DE} = \overrightarrow{BE}-\overrightarrow{BD} = x\overrightarrow{BQ} = y\overrightarrow{BQ}$, $\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AB}$

$\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{AE} - \overrightarrow{AD}$

(4)

3. 最終的な答え

(1)

$\overrightarrow{AR} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$

(2)

$\overrightarrow{AP} = \frac{3}{5}\overrightarrow{AB} + \frac{2}{5}\overrightarrow{AC}$

$\overrightarrow{BQ} = -\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$

(3)

$\overrightarrow{AD} = \frac{3}{7}\overrightarrow{AB} + \frac{2}{7}\overrightarrow{AC}$

(4)

$\frac{\triangle DEF}{\triangle ABC} = \frac{1}{49}$