次の関数の導関数を求めます。ただし、(4)と(5)は対数微分法を利用します。 3) $f(x) = \log \sqrt{\frac{\sqrt{1+x^2}-x}{\sqrt{1+x^2}+x}}$ 4) $f(x) = x^{\arctan(2x)}$ 5) $f(x) = \left(\frac{x^3+x^2+1}{(x-2)(x^4+1)(x^5+1)}\right)^{1/5}$

1. 問題の内容

次の関数の導関数を求めます。ただし、(4)と(5)は対数微分法を利用します。

3) $f(x) = \log \sqrt{\frac{\sqrt{1+x^2}-x}{\sqrt{1+x^2}+x}}$

4) $f(x) = x^{\arctan(2x)}$

5) $f(x) = \left(\frac{x^3+x^2+1}{(x-2)(x^4+1)(x^5+1)}\right)^{1/5}$

2. 解き方の手順

3) $f(x) = \log \sqrt{\frac{\sqrt{1+x^2}-x}{\sqrt{1+x^2}+x}}$

まず、$f(x)$を整理します。

$f(x) = \frac{1}{2} \log \frac{\sqrt{1+x^2}-x}{\sqrt{1+x^2}+x} = \frac{1}{2} \log \frac{(\sqrt{1+x^2}-x)^2}{1+x^2-x^2} = \frac{1}{2} \log (\sqrt{1+x^2}-x)^2 = \log (\sqrt{1+x^2}-x)$.

$f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}-x} \cdot \frac{d}{dx}(\sqrt{1+x^2}-x) = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}-x} \cdot (\frac{2x}{2\sqrt{1+x^2}} - 1) = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}-x} \cdot (\frac{x}{\sqrt{1+x^2}} - 1) = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}-x} \cdot \frac{x - \sqrt{1+x^2}}{\sqrt{1+x^2}} = \frac{-(\sqrt{1+x^2}-x)}{(\sqrt{1+x^2}-x)\sqrt{1+x^2}} = -\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$.

4) $f(x) = x^{\arctan(2x)}$

対数微分法を使用します。

$\log f(x) = \arctan(2x) \log x$

両辺を$x$で微分します。

$\frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{2}{1+(2x)^2} \log x + \arctan(2x) \frac{1}{x} = \frac{2}{1+4x^2} \log x + \frac{\arctan(2x)}{x}$

$f'(x) = f(x) \left( \frac{2\log x}{1+4x^2} + \frac{\arctan(2x)}{x} \right) = x^{\arctan(2x)} \left( \frac{2\log x}{1+4x^2} + \frac{\arctan(2x)}{x} \right)$.

5) $f(x) = \left(\frac{x^3+x^2+1}{(x-2)(x^4+1)(x^5+1)}\right)^{1/5}$

対数微分法を使用します。

$\log f(x) = \frac{1}{5} \left[ \log(x^3+x^2+1) - \log(x-2) - \log(x^4+1) - \log(x^5+1) \right]$

両辺を$x$で微分します。

$\frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{1}{5} \left[ \frac{3x^2+2x}{x^3+x^2+1} - \frac{1}{x-2} - \frac{4x^3}{x^4+1} - \frac{5x^4}{x^5+1} \right]$

$f'(x) = \frac{1}{5} \left(\frac{x^3+x^2+1}{(x-2)(x^4+1)(x^5+1)}\right)^{1/5} \left[ \frac{3x^2+2x}{x^3+x^2+1} - \frac{1}{x-2} - \frac{4x^3}{x^4+1} - \frac{5x^4}{x^5+1} \right]$

3. 最終的な答え

3) $f'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$

4) $f'(x) = x^{\arctan(2x)} \left( \frac{2\log x}{1+4x^2} + \frac{\arctan(2x)}{x} \right)$

5) $f'(x) = \frac{1}{5} \left(\frac{x^3+x^2+1}{(x-2)(x^4+1)(x^5+1)}\right)^{1/5} \left[ \frac{3x^2+2x}{x^3+x^2+1} - \frac{1}{x-2} - \frac{4x^3}{x^4+1} - \frac{5x^4}{x^5+1} \right]$