2次方程式 $x^2 + 4kx - 4k + 8 = 0$ が異なる2つの異符号の解を持つとき、定数 $k$ の範囲を求める。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 + 4kx - 4k + 8 = 0$ が異なる2つの異符号の解を持つとき、定数 $k$ の範囲を求める。

2. 解き方の手順

2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ が異なる2つの実数解を持つとき、判別式 $D = b^2 - 4ac > 0$ が成り立つ必要があります。また、異なる2つの異符号の解を持つためには、$ac < 0$ が必要です。

この問題の2次方程式は $x^2 + 4kx - 4k + 8 = 0$ なので、$a=1$, $b=4k$, $c=-4k+8$ となります。

異なる2つの異符号の解を持つための条件は $ac < 0$ なので、

$$1 \cdot (-4k + 8) < 0$$

$$-4k + 8 < 0$$

$$4k > 8$$

$$k > 2$$

3. 最終的な答え

$k > 2$