2次関数 $y = -x^2 + 2x - 2k + 1$ のグラフと $x$ 軸の共有点の個数が2個であるとき、定数 $k$ の値または範囲を求める。

1. 問題の内容

2次関数 $y = -x^2 + 2x - 2k + 1$ のグラフと $x$ 軸の共有点の個数が2個であるとき、定数 $k$ の値または範囲を求める。

2. 解き方の手順

2次関数のグラフと $x$ 軸の共有点の個数は、2次方程式の判別式 $D$ によって決まります。

与えられた2次関数 $y = -x^2 + 2x - 2k + 1$ に対して、$y=0$ とおいた2次方程式 $-x^2 + 2x - 2k + 1 = 0$ を考えます。

この方程式を整理すると、$x^2 - 2x + 2k - 1 = 0$ となります。

この2次方程式の判別式 $D$ は、

$$D = (-2)^2 - 4(1)(2k - 1) = 4 - 8k + 4 = 8 - 8k$$

となります。

グラフと $x$ 軸の共有点が2個であるためには、$D > 0$ である必要があります。

したがって、

$$8 - 8k > 0$$

$$8 > 8k$$

$$1 > k$$

$$k < 1$$

3. 最終的な答え

$k < 1$