関数 $y = \frac{1}{x^3 + 1}$ の増減、極値、グラフの凹凸を調べ、グラフの概形を描く問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{1}{x^3 + 1}$ の増減、極値、グラフの凹凸を調べ、グラフの概形を描く問題です。

2. 解き方の手順

(1) まず、定義域を確認します。$x^3 + 1 \neq 0$ より、$x \neq -1$ となります。

(2) 次に、導関数 $y'$ を計算します。

$y = (x^3 + 1)^{-1}$なので、

$y' = -(x^3 + 1)^{-2} \cdot 3x^2 = -\frac{3x^2}{(x^3 + 1)^2}$

(3) $y' = 0$ となる $x$ を求めます。

$-\frac{3x^2}{(x^3 + 1)^2} = 0$ より、$x=0$ となります。

ここで、$x = -1$ は定義域に含まれないため除外します。

(4) 増減表を作成します。

| x | ... | -1 | ... | 0 | ... |

| --- | --- | --- | --- | --- | --- |

| y' | - | / | - | 0 | - |

| y | ↘ | / | ↘ | 1 | ↘ |

(5) 極値を確認します。

$x=0$のとき、$y'=0$であり、その前後で$y'$の符号が変化しないため極値を持ちません。

$y(0) = \frac{1}{0^3 + 1} = 1$ですが、極値ではありません。

(6) 2階導関数 $y''$ を計算します。

$y' = -3x^2(x^3 + 1)^{-2}$ なので、

$y'' = -6x(x^3+1)^{-2} - 3x^2(-2)(x^3+1)^{-3}(3x^2)$

$y'' = \frac{-6x}{(x^3+1)^2} + \frac{18x^4}{(x^3+1)^3}$

$y'' = \frac{-6x(x^3+1) + 18x^4}{(x^3+1)^3}$

$y'' = \frac{-6x^4 - 6x + 18x^4}{(x^3+1)^3}$

$y'' = \frac{12x^4 - 6x}{(x^3+1)^3}$

$y'' = \frac{6x(2x^3 - 1)}{(x^3+1)^3}$

(7) $y'' = 0$ となる $x$ を求めます。

$\frac{6x(2x^3 - 1)}{(x^3+1)^3} = 0$ より、$x=0$または$2x^3 - 1 = 0$

$x=0$または$x^3 = \frac{1}{2}$より、$x = \sqrt[3]{\frac{1}{2}}$

したがって、$x=0$と$x=\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$となります。

(8) 凹凸を調べます。

| x | ... | -1 | ... | 0 | ... | $1/\sqrt[3]{2}$ | ... |

| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |

| y'' | + | / | + | 0 | - | 0 | + |

| y | ∪ | / | ∪ | 1 | ∩ | $\frac{2}{3}$ | ∪ |

$x=0$と$x=\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$は変曲点です。$y(0)=1$と$y(\frac{1}{\sqrt[3]{2}})=\frac{1}{(\frac{1}{\sqrt[3]{2}})^3+1}=\frac{1}{\frac{1}{2}+1}=\frac{2}{3}$です。

(9) グラフの概形を描きます。

- $x \to \infty$ のとき $y \to 0$

- $x \to -\infty$ のとき $y \to 0$

- $x \to -1^+$ のとき $y \to \infty$

- $x \to -1^-$ のとき $y \to -\infty$

3. 最終的な答え

グラフの概形: 増減表と凹凸の表、漸近線を参考にグラフを描画します。

- 定義域: $x \neq -1$

- 極値: なし

- 変曲点: $(0, 1)$, $(\frac{1}{\sqrt[3]{2}}, \frac{2}{3})$

- 漸近線: $x = -1$, $y = 0$

グラフは$x=-1$で垂直漸近線を持ち、$x$が正または負の無限大に近づくにつれて$y$は$0$に近づきます。

$y$は$x=0$で1になり、$(\frac{1}{\sqrt[3]{2}}, \frac{2}{3})$を通ります。$x<-1$で$y<0$となります。