関数 $y = -3(x-1)^2 + c + 1$ の $2 \le x \le 4$ における最小値が $-19$ であるとき、定数 $c$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = -3(x-1)^2 + c + 1$ の $2 \le x \le 4$ における最小値が $-19$ であるとき、定数 $c$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

与えられた関数は $y = -3(x-1)^2 + c + 1$ です。

この関数は上に凸な2次関数であり、軸は $x = 1$ です。

定義域は $2 \le x \le 4$ です。

軸 $x = 1$ は定義域に含まれていないので、定義域の端点で最小値をとります。

$x = 2$ のとき、

$y = -3(2-1)^2 + c + 1 = -3(1)^2 + c + 1 = -3 + c + 1 = c - 2$

$x = 4$ のとき、

$y = -3(4-1)^2 + c + 1 = -3(3)^2 + c + 1 = -3(9) + c + 1 = -27 + c + 1 = c - 26$

$c - 26 < c - 2$ なので、$x = 4$ のときに最小値をとります。

最小値は $c - 26 = -19$ であるので、

$c = -19 + 26 = 7$

3. 最終的な答え

$c = 7$