放物線 $y = -x(x-2)$ と $x$ 軸で囲まれた図形の面積が、直線 $y = ax$ によって2等分されるとき、定数 $a$ の値を求める。ただし、$0 < a < 2$ とする。

1. 問題の内容

放物線 $y = -x(x-2)$ と $x$ 軸で囲まれた図形の面積が、直線 $y = ax$ によって2等分されるとき、定数 $a$ の値を求める。ただし、$0 < a < 2$ とする。

2. 解き方の手順

ステップ1: 放物線とx軸で囲まれた面積を求める。

放物線 $y = -x(x-2)$ と $x$ 軸の交点は、$x=0$ と $x=2$ である。

したがって、求める面積 $S$ は、

$S = \int_{0}^{2} -x(x-2) dx = \int_{0}^{2} (-x^2 + 2x) dx = [-\frac{1}{3}x^3 + x^2]_0^2 = -\frac{8}{3} + 4 = \frac{4}{3}$

ステップ2: 放物線と直線で囲まれた面積を求める。

放物線 $y = -x(x-2)$ と直線 $y = ax$ の交点の $x$ 座標は、$-x(x-2) = ax$ を満たす。

$-x^2 + 2x = ax$ より、 $x^2 + (a-2)x = 0$。よって $x(x + (a-2)) = 0$。

したがって、$x=0$ または $x = 2-a$。

ここで、$0 < a < 2$ より、$2-a > 0$ である。

放物線と直線で囲まれた面積 $S_1$ は、

$S_1 = \int_{0}^{2-a} (-x(x-2) - ax) dx = \int_{0}^{2-a} (-x^2 + (2-a)x) dx = [-\frac{1}{3}x^3 + \frac{2-a}{2}x^2]_0^{2-a} = -\frac{1}{3}(2-a)^3 + \frac{1}{2}(2-a)^3 = \frac{1}{6}(2-a)^3$

ステップ3: 面積が2等分される条件から $a$ を求める。

問題文より、$S_1 = \frac{1}{2}S$。

$\frac{1}{6}(2-a)^3 = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3}$

$(2-a)^3 = 4$

$2-a = \sqrt[3]{4}$

$a = 2 - \sqrt[3]{4}$

3. 最終的な答え

$a = 2 - \sqrt[3]{4}$