以下の6つの極限を求めます。 (1) $\lim_{x\to\infty} \frac{1}{x+2}$ (2) $\lim_{x\to\infty} \frac{1}{x^3+1}$ (3) $\lim_{x\to\infty} (1-\frac{1}{x^2})$ (4) $\lim_{x\to\infty} (x^2-x^3)$ (5) $\lim_{x\to\infty} (x^2+x^3)$ (6) $\lim_{x\to\infty} (x+\frac{1}{x})$

はい、承知いたしました。与えられた極限の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

以下の6つの極限を求めます。

(1) $\lim_{x\to\infty} \frac{1}{x+2}$

(2) $\lim_{x\to\infty} \frac{1}{x^3+1}$

(3) $\lim_{x\to\infty} (1-\frac{1}{x^2})$

(4) $\lim_{x\to\infty} (x^2-x^3)$

(5) $\lim_{x\to\infty} (x^2+x^3)$

(6) $\lim_{x\to\infty} (x+\frac{1}{x})$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x\to\infty} \frac{1}{x+2}$

$x$ が無限大に近づくとき、$x+2$ も無限大に近づきます。したがって、$\frac{1}{x+2}$ は0に近づきます。

(2) $\lim_{x\to\infty} \frac{1}{x^3+1}$

$x$ が無限大に近づくとき、$x^3+1$ も無限大に近づきます。したがって、$\frac{1}{x^3+1}$ は0に近づきます。

(3) $\lim_{x\to\infty} (1-\frac{1}{x^2})$

$x$ が無限大に近づくとき、$x^2$ も無限大に近づき、$\frac{1}{x^2}$ は0に近づきます。したがって、$1-\frac{1}{x^2}$ は 1-0 = 1 に近づきます。

(4) $\lim_{x\to\infty} (x^2-x^3)$

$x^2-x^3 = x^3(\frac{1}{x}-1)$ と変形します。$x$ が無限大に近づくとき、$\frac{1}{x}$ は0に近づきます。したがって、$\frac{1}{x}-1$ は -1 に近づきます。$x^3$ は無限大に近づくので、$x^3(\frac{1}{x}-1)$ は $-\infty$ に近づきます。

(5) $\lim_{x\to\infty} (x^2+x^3)$

$x^2+x^3 = x^3(\frac{1}{x}+1)$ と変形します。$x$ が無限大に近づくとき、$\frac{1}{x}$ は0に近づきます。したがって、$\frac{1}{x}+1$ は 1 に近づきます。$x^3$ は無限大に近づくので、$x^3(\frac{1}{x}+1)$ は $\infty$ に近づきます。

(6) $\lim_{x\to\infty} (x+\frac{1}{x})$

$x$ が無限大に近づくとき、$\frac{1}{x}$ は0に近づきます。したがって、$x+\frac{1}{x}$ は $\infty + 0 = \infty$ に近づきます。

3. 最終的な答え

(1) $\lim_{x\to\infty} \frac{1}{x+2} = 0$

(2) $\lim_{x\to\infty} \frac{1}{x^3+1} = 0$

(3) $\lim_{x\to\infty} (1-\frac{1}{x^2}) = 1$

(4) $\lim_{x\to\infty} (x^2-x^3) = -\infty$

(5) $\lim_{x\to\infty} (x^2+x^3) = \infty$

(6) $\lim_{x\to\infty} (x+\frac{1}{x}) = \infty$