関数 $y = (x-a)^2 + 1$ の $-4 \le x \le 0$ における最大値を求め、以下の空欄を埋める問題です。 i) $a < $ のとき、$x = $ で最大値 $ $ ii) $ \le a$ のとき、$x = $ で最大値 $ $

1. 問題の内容

関数 $y = (x-a)^2 + 1$ の $-4 \le x \le 0$ における最大値を求め、以下の空欄を埋める問題です。

i) $a <$ のとき、$x =$ で最大値 $$

ii) $\le a$ のとき、$x =$ で最大値 $$

2. 解き方の手順

関数 $y = (x-a)^2 + 1$ は、下に凸な放物線であり、軸は $x=a$ です。定義域は $-4 \le x \le 0$ です。

i) $a < -4$ のとき、定義域 $-4 \le x \le 0$ において、$x$ が大きいほど $y$ の値は大きくなります。したがって、$x = 0$ で最大値をとります。このとき、$y = (0-a)^2 + 1 = a^2 + 1$ です。

ii) $-4 \le a \le 0$ のとき、軸 $x=a$ が定義域に含まれます。定義域の端点 $x=-4$ と $x=0$ のうち、軸から遠い方で最大値をとります。

$|-4-a| = |a+4|$ と $|0-a| = |a|$ を比較すると、$a+4 > 0$ かつ $a < 0$ なので、

$a+4 \ge -a$ すなわち $2a \ge -4$ つまり $a \ge -2$ のとき、$x=-4$ で最大値をとります。

$a+4 < -a$ すなわち $2a < -4$ つまり $a < -2$ のとき、$x=0$ で最大値をとります。

しかし問題では、$a <$ の場合と $\le a$ の場合分けになっているので、軸が定義域に含まれる場合の端点の比較は不要です。

iii) $0 < a$ のとき、定義域 $-4 \le x \le 0$ において、$x$ が小さいほど $y$ の値は大きくなります。したがって、$x = -4$ で最大値をとります。このとき、$y = (-4-a)^2 + 1 = (a+4)^2 + 1 = a^2 + 8a + 16 + 1 = a^2 + 8a + 17$ です。

問題文の条件より i) は $a < -4$、 ii) は $0 \le a$ の場合に対応します。 $-4 \le a \le 0$ の場合は問題文に含まれていません。

i) $a < -4$ のとき、$x = 0$ で最大値 $a^2+1$ をとります。

ii) $0 \le a$ のとき、$x = -4$ で最大値 $(a+4)^2 + 1 = a^2 + 8a + 17$ をとります。

3. 最終的な答え

i) $a < -4$ のとき、$x = 0$ で最大値 $a^2+1$

ii) $0 \le a$ のとき、$x = -4$ で最大値 $a^2+8a+17$