関数 $y = 2(x-a)^2 - 3$ の $-4 \le x \le 0$ における最大値を求める問題です。ただし、$a$ の値によって最大値を与える $x$ の値が変わるため、$a$ の範囲で場合分けして答える必要があります。

1. 問題の内容

関数 $y = 2(x-a)^2 - 3$ の $-4 \le x \le 0$ における最大値を求める問題です。ただし、$a$ の値によって最大値を与える $x$ の値が変わるため、$a$ の範囲で場合分けして答える必要があります。

2. 解き方の手順

まず、関数 $y = 2(x-a)^2 - 3$ は、頂点が $(a, -3)$ の下に凸な二次関数です。

定義域は $-4 \le x \le 0$ です。

i) $a < -2$ のとき:

このとき、軸 $x=a$ は定義域 $-4 \le x \le 0$ の左側にあります。したがって、$x$ が大きいほど $y$ の値が大きくなるので、$x=0$ で最大値をとります。

$x=0$ のとき、$y = 2(0-a)^2 - 3 = 2a^2 - 3$

この場合、$a < -2$ である必要があります。

ii) $-2 \le a$ のとき:

このとき、軸 $x=a$ は定義域 $-4 \le x \le 0$ に含まれるか、あるいは右側にあります。したがって、$x=-4$ で最大値をとります。

$x=-4$ のとき、$y = 2(-4-a)^2 - 3 = 2(a+4)^2 - 3 = 2(a^2 + 8a + 16) - 3 = 2a^2 + 16a + 29$

この場合、$a \ge -2$ と書くよりも、$-4 \le x \le 0$ における位置関係を考慮して $a \ge 0$ とするのが自然です。軸が $x = 0$ より右側にある場合も $x = -4$ で最大となるからです。したがって、$0 \le a$ のときに $x = -4$ で最大値となります。

3. 最終的な答え

i) $a < -2$ のとき、$x=0$ で最大値 $2a^2 - 3$

ii) $0 \le a$ のとき、$x=-4$ で最大値 $2a^2 + 16a + 29$