$\lim_{x \to 0} \frac{\sin{3x}}{\sin{x}}$ の極限を求める問題です。式変形を行い、A, B, C に当てはまる値を求めます。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin{3x}}{\sin{x}}$ の極限を求める問題です。式変形を行い、A, B, C に当てはまる値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{\sin{3x}}{\sin{x}}$ を $\frac{\sin{3x}}{3x} \cdot \frac{x}{\sin{x}}$ の形になるように変形します。

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin{3x}}{\sin{x}} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin{3x}}{3x} \cdot \frac{x}{\sin{x}} \cdot \frac{3x}{x}$

ここで、$A = 3x$、$B = x$ となります。

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin{3x}}{3x} = 1$ であり、$\lim_{x \to 0} \frac{\sin{x}}{x} = 1$ なので、$\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin{x}} = 1$ となります。

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin{3x}}{\sin{x}} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin{3x}}{3x} \cdot \frac{x}{\sin{x}} \cdot \frac{3x}{x} = 1 \cdot 1 \cdot 3 = 3$

よって、$C = 3$ となります。

3. 最終的な答え

A = 3x

B = x

C = 3