関数 $y = -2(x-a)^2 + 7$ の $2 \le x \le 4$ における最小値を、$a$ の値によって場合分けして求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = -2(x-a)^2 + 7$ の $2 \le x \le 4$ における最小値を、$a$ の値によって場合分けして求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた関数 $y = -2(x-a)^2 + 7$ は、上に凸な放物線である。したがって、定義域 $2 \le x \le 4$ における最小値は、軸 $x=a$ から最も離れた $x=2$ または $x=4$ でとる。

i) $a < 3$ のとき：

$x=4$ の方が $x=a$ から遠いので、$x=4$ で最小値をとる。

$x=4$ を代入すると、

$y = -2(4-a)^2 + 7$

ii) $a \ge 3$のとき：

$x=2$の方が$x=a$から遠いので、$x=2$で最小値をとる。

$x=2$を代入すると、

$y=-2(2-a)^2+7$

3. 最終的な答え

i) $a < 3$ のとき、$x=4$ で最小値 $-2(4-a)^2 + 7$

ii) $a \ge 3$ のとき、$x=2$ で最小値 $-2(2-a)^2 + 7$