(1) 3点 $(1, 0)$, $(0, 1)$, $(-2, 15)$ を通る2次関数を求める。 (2) 3点 $(3, 0)$, $(0, -9)$, $(-1, -4)$ を通る2次関数を求める。 (3) 2次関数 $y = x^2 + 2x + 2a$ ($-2 \le x \le 1$) の最大値が7であるとき、定数 $a$ の値を求め、その時の最小値を求める。

1. 問題の内容

(1) 3点 $(1, 0)$, $(0, 1)$, $(-2, 15)$ を通る2次関数を求める。

(2) 3点 $(3, 0)$, $(0, -9)$, $(-1, -4)$ を通る2次関数を求める。

(3) 2次関数 $y = x^2 + 2x + 2a$ ($-2 \le x \le 1$) の最大値が7であるとき、定数 $a$ の値を求め、その時の最小値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 求める2次関数を $y = ax^2 + bx + c$ とおく。

与えられた3点の座標を代入して、連立方程式を解く。

点 $(1, 0)$ を通ることから、$a(1)^2 + b(1) + c = 0$ より $a + b + c = 0$。

点 $(0, 1)$ を通ることから、$a(0)^2 + b(0) + c = 1$ より $c = 1$。

点 $(-2, 15)$ を通ることから、$a(-2)^2 + b(-2) + c = 15$ より $4a - 2b + c = 15$。

$c = 1$ を他の2式に代入して整理すると、

$a + b = -1$

$4a - 2b = 14$

2番目の式を2で割って、$2a - b = 7$。

$a + b = -1$ と $2a - b = 7$ を足して、$3a = 6$ より $a = 2$。

$a = 2$ を $a + b = -1$ に代入して、$2 + b = -1$ より $b = -3$。

よって、$a = 2$, $b = -3$, $c = 1$ なので、求める2次関数は $y = 2x^2 - 3x + 1$。

(2) 求める2次関数を $y = ax^2 + bx + c$ とおく。

与えられた3点の座標を代入して、連立方程式を解く。

点 $(3, 0)$ を通ることから、$a(3)^2 + b(3) + c = 0$ より $9a + 3b + c = 0$。

点 $(0, -9)$ を通ることから、$a(0)^2 + b(0) + c = -9$ より $c = -9$。

点 $(-1, -4)$ を通ることから、$a(-1)^2 + b(-1) + c = -4$ より $a - b + c = -4$。

$c = -9$ を他の2式に代入して整理すると、

$9a + 3b = 9$

$a - b = 5$

1番目の式を3で割って、$3a + b = 3$。

$a - b = 5$ と $3a + b = 3$ を足して、$4a = 8$ より $a = 2$。

$a = 2$ を $a - b = 5$ に代入して、$2 - b = 5$ より $b = -3$。

よって、$a = 2$, $b = -3$, $c = -9$ なので、求める2次関数は $y = 2x^2 - 3x - 9$。

(3) $y = x^2 + 2x + 2a = (x + 1)^2 - 1 + 2a$

軸は $x = -1$ で、定義域 $-2 \le x \le 1$ の範囲にある。

$x = 1$ の時に最大値をとる。

$x = 1$ を代入すると、$y = 1 + 2 + 2a = 3 + 2a$。

最大値が7より、$3 + 2a = 7$。

$2a = 4$

$a = 2$

$a = 2$ のとき、$y = (x + 1)^2 - 1 + 2(2) = (x + 1)^2 + 3$

軸 $x = -1$ で最小値をとる。$x = -1$ を代入すると、$y = (-1 + 1)^2 + 3 = 3$。

最小値は3。

3. 最終的な答え

(1) $y = 2x^2 - 3x + 1$

(2) $y = 2x^2 - 3x - 9$

(3) $a = 2$, 最小値は 3