2次関数 $y = x^2 - 2x + 2$ について、定義域 $0 \le x \le 3$ における最大値と最小値を求め、そのときの $x$ の値を求める。

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 - 2x + 2$ について、定義域 $0 \le x \le 3$ における最大値と最小値を求め、そのときの $x$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成する。

$y = x^2 - 2x + 2 = (x - 1)^2 - 1 + 2 = (x - 1)^2 + 1$

この関数のグラフは、頂点が $(1, 1)$ の下に凸の放物線である。定義域 $0 \le x \le 3$ を考慮する。

$x = 1$ は定義域内にあるので、$x = 1$ で最小値をとる。

$x = 1$ のとき、$y = (1 - 1)^2 + 1 = 1$

次に、定義域の端点での値を調べる。

$x = 0$ のとき、$y = (0 - 1)^2 + 1 = 1 + 1 = 2$

$x = 3$ のとき、$y = (3 - 1)^2 + 1 = 4 + 1 = 5$

$x=3$のとき最大値をとる。

最大値は $5$ ($x = 3$ のとき)

最小値は $1$ ($x = 1$ のとき)

3. 最終的な答え

最大値 5 ($x = 3$ のとき)

最小値 1 ($x = 1$ のとき)