関数 $y = -2(x-a)^2 + 8$ の $-4 \le x \le 0$ における最小値を、$a$ の値によって場合分けして求め、空欄を埋める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = -2(x-a)^2 + 8$ の $-4 \le x \le 0$ における最小値を、$a$ の値によって場合分けして求め、空欄を埋める問題です。

2. 解き方の手順

関数 $y = -2(x-a)^2 + 8$ は、上に凸な放物線であり、軸は $x = a$ です。定義域 $-4 \le x \le 0$ における最小値を考えます。

i) $a < -4$ のとき：

定義域 $-4 \le x \le 0$ において、関数は単調増加します。したがって、$x=0$ で最小値をとります。最小値は $y = -2(0-a)^2 + 8 = -2a^2 + 8$ です。

ii) $-4 \le a \le 0$ のとき：

軸 $x = a$ が定義域内にあるので、$x = -4$ または $x = 0$ で最小値をとります。

$x = -4$ のとき、$y = -2(-4-a)^2 + 8 = -2(a+4)^2 + 8 = -2(a^2 + 8a + 16) + 8 = -2a^2 - 16a - 24$

$x = 0$ のとき、$y = -2(0-a)^2 + 8 = -2a^2 + 8$

$2a^2 + 16a + 24 < 2a^2 -8$ を考えると $16a < -32$ より$a<-2$となる。

したがって、 $-4 \le a < -2$のとき、$x = -4$ で最小値をとる。

$-2 \le a \le 0$のとき、$x = 0$ で最小値をとる。

場合分けの問題なので、まとめると

-4 \le a <=0のとき

$-4 \le a < -2$のとき、$x = -4$ で最小値 $-2a^2 - 16a - 24$

$-2 \le a \le 0$のとき、$x = 0$ で最小値 $-2a^2 + 8$

以上をまとめると

i) $a < -4$ のとき、$x=0$ で最小値 $-2a^2 + 8$

ii) $-4 \le a \le 0$ のとき、

-4 <= a < -2のとき、$x = -4$ で最小値 $-2(a+4)^2 + 8 = -2a^2 - 16a - 24$

-2 <= a <= 0のとき、$x=0$で最小値 $-2a^2 + 8$

問題の空欄の形式にあうように修正します。

i) $a < -4$ のとき、$x = 0$ で最小値 $-2a^2 + 8$。

ii) $-4 \le a \le 0$ のとき、$x$の値を聞かれていないので、以下のように場合分けします。

$f(-4) = -2(a+4)^2 + 8$, $f(0) = -2a^2 + 8$

$f(-4)-f(0) = -2(a^2 + 8a + 16) + 8 - (-2a^2 + 8) = -2a^2 - 16a - 32 + 8 + 2a^2 - 8 = -16a - 32 = -16(a+2)$

したがって、$a+2 > 0$, i.e. $a > -2$のとき、$f(-4) < f(0)$

$a+2 < 0$, i.e. $a < -2$のとき、$f(-4) > f(0)$

$a=-2$のとき、$f(-4) = f(0)$

したがって、$a = -2$を境に最小値を与えるxの値が変わるので、

$a < -2$のとき、$x = 0$で最小値をとる。

$a > -2$のとき、$x = -4$で最小値をとる。

i) $a < -4$ のとき、$x = 0$ で最小値 $-2a^2+8$

ii) $-4 \le a \le 0$ のとき、

　-4<=a<-2のとき，$x=-4$で最小値　$-2a^2 - 16a - 24$

　-2<=a<=0のとき，$x=0$で最小値　$-2a^2 + 8$

3. 最終的な答え

i) $a < -4$ のとき、$x = 0$ で最小値 $-2a^2 + 8$

ii) $-4 \le a < -2$のとき、$x = -4$ で最小値 $-2a^2 -16a -24$

$-2 \le a \le 0$のとき、$x=0$で最小値 $-2a^2 + 8$