問題は、$(a-b)^3 + (b-c)^3 + (c-a)^3$ を計算することです。

1. 問題の内容

問題は、$(a-b)^3 + (b-c)^3 + (c-a)^3$ を計算することです。

2. 解き方の手順

$x = a-b$, $y = b-c$, $z = c-a$ と置くと、$x+y+z = (a-b) + (b-c) + (c-a) = a-b+b-c+c-a = 0$ となります。

もし $x+y+z = 0$ ならば、$x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz$ が成り立ちます。

この公式を証明します。

まず、$x+y+z=0$ より、$z = -(x+y)$ が成り立ちます。

したがって、$x^3 + y^3 + z^3 = x^3 + y^3 + (-x-y)^3 = x^3 + y^3 - (x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3) = x^3 + y^3 - x^3 - 3x^2y - 3xy^2 - y^3 = -3x^2y - 3xy^2 = -3xy(x+y) = -3xy(-z) = 3xyz$ となります。

したがって、

$(a-b)^3 + (b-c)^3 + (c-a)^3 = 3(a-b)(b-c)(c-a)$ となります。

3. 最終的な答え

$3(a-b)(b-c)(c-a)$