(i) $f(x) = 4^x - 11 \cdot 2^x + 24$ について、$2^x = t$ とするとき、$f(x)$ を $t$ の式で表し、$f(x) = 0$ となる $x$ を求める。 (ii) $2 \log_3 x = \log_3 (6-x)$ を満たす $x$ を選択肢から選ぶ。

1. 問題の内容

(i) $f(x) = 4^x - 11 \cdot 2^x + 24$ について、$2^x = t$ とするとき、$f(x)$ を $t$ の式で表し、$f(x) = 0$ となる $x$ を求める。

(ii) $2 \log_3 x = \log_3 (6-x)$ を満たす $x$ を選択肢から選ぶ。

2. 解き方の手順

(i)

まず、$f(x)$ を $t$ で表す。

$4^x = (2^x)^2 = t^2$ より、

$f(x) = t^2 - 11t + 24$

$f(x) = 0$ となる $t$ を求める。

$t^2 - 11t + 24 = 0$

$(t-3)(t-8) = 0$

$t = 3, 8$

$2^x = t$ より、

$2^x = 3$ のとき、$x = \log_2 3$

$2^x = 8 = 2^3$ のとき、$x = 3$

したがって、$x = 3, \log_2 3$

(ii)

$2 \log_3 x = \log_3 (6-x)$

$\log_3 x^2 = \log_3 (6-x)$

$x^2 = 6 - x$

$x^2 + x - 6 = 0$

$(x+3)(x-2) = 0$

$x = -3, 2$

ただし、$\log_3 x$ が定義されるためには、$x > 0$ である必要がある。

また、$\log_3 (6-x)$ が定義されるためには、$6-x > 0$ 、つまり $x < 6$ である必要がある。

よって、$x = 2$ が解となる。

3. 最終的な答え

(i) $f(x) = t^2 - 11t + 24$

$x = 3, \log_2 3$

(ii) $x = 2$ (選択肢2)