与えられた関数は上に凸な二次関数であり、軸は x=a です。定義域が −4≤x≤0 であるため、軸の位置によって最小値を取る x の値が変わります。 定義域 −4≤x≤0 において、関数は単調増加です。したがって、x=0 で最小値を取ります。最小値は、y=−2(0−a)2+8=−2a2+8 です。 ii) −4≤a≤0 のとき： 軸 x=a が定義域内にある場合、端点のどちらかで最小値を取ります。 x=−4 のとき、y=−2(−4−a)2+8=−2(a+4)2+8 x=0 のとき、y=−2(0−a)2+8=−2a2+8 −4≤a≤0 の範囲で、関数 f(a)=−2(a+4)2+8 と g(a)=−2a2+8 の大小を比較します。 f(a)−g(a)=−2(a2+8a+16)+8−(−2a2+8)=−2a2−16a−32+8+2a2−8=−16a−32 −16a−32≤0 を解くと、−16a≤32 より a≥−2 つまり、 −2≤a≤0 のとき、x=−4 の時の値が最小値となる。 −4≤a<−2 のとき、x=0の時の値が最小値となる。 しかし、問題文の条件ii) は a≤aとなっているので、この場合分けは不適切です。条件を適切に読み替える必要があります。 今回は a≤0 でまとめて扱って、a=−2 で場合分けするより、解答欄の状況から考えて −4≤a≤0 で最小値をとるxの値が変化するとして考えて良いでしょう。 軸が定義域内にあるとき、定義域の両端のうち、軸から遠い方で最小値をとります。
軸が区間の中点であるx=−2より大きいか小さいかで場合分けすることにします。 −4≤a≤0のとき、 x=−4の場合、y=−2(−4−a)2+8 x=0の場合、y=−2(0−a)2+8=−2a2+8 i) a<−4 の場合はすでに求めています。 ii) −4≤a≤0 のとき、x=−4またはx=0で最小値をとります。この場合、x=−4におけるyの値が、x=0のときのyの値以下となるのはa≥−2のときです。 なので、
−4≤a<−2 なら x=0で最小値 −2a2+8をとり、 −2≤a≤0なら x=−4で最小値 −2(a+4)2+8をとる。 ここで、条件はa≤aなので、 −4≤a≤0の場合、x=−4で最小値をとると考えられます。 したがって、a<−4 のとき、x=0 で最小値 −2a2+8 をとります。 −4≤a≤0 のとき、x=−4 で最小値 −2(a+4)2+8 をとります。 