関数 $y = -2(x-a)^2 + 8$ の $-4 \le x \le 0$ における最小値を求め、空欄を埋める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = -2(x-a)^2 + 8$ の $-4 \le x \le 0$ における最小値を求め、空欄を埋める問題です。

2. 解き方の手順

与えられた関数は上に凸な二次関数であり、軸は $x=a$ です。定義域が $-4 \le x \le 0$ であるため、軸の位置によって最小値を取る $x$ の値が変わります。

i) $a < -4$ のとき：

定義域 $-4 \le x \le 0$ において、関数は単調増加です。したがって、$x=0$ で最小値を取ります。最小値は、$y = -2(0-a)^2 + 8 = -2a^2 + 8$ です。

ii) $-4 \le a \le 0$ のとき：

軸 $x=a$ が定義域内にある場合、端点のどちらかで最小値を取ります。

$x=-4$ のとき、$y=-2(-4-a)^2 + 8 = -2(a+4)^2+8$

$x=0$ のとき、$y=-2(0-a)^2+8 = -2a^2 + 8$

$-4 \le a \le 0$ の範囲で、関数 $f(a) = -2(a+4)^2 + 8$ と $g(a) = -2a^2+8$ の大小を比較します。

$f(a) - g(a) = -2(a^2 + 8a + 16) + 8 - (-2a^2 + 8) = -2a^2 - 16a - 32 + 8 + 2a^2 - 8 = -16a - 32$

$-16a - 32 \le 0$ を解くと、$-16a \le 32$ より $a \ge -2$

つまり、 $-2 \le a \le 0$ のとき、$x=-4$ の時の値が最小値となる。

$-4 \le a < -2$ のとき、$x=0$の時の値が最小値となる。

しかし、問題文の条件ii) は $a \le a$となっているので、この場合分けは不適切です。条件を適切に読み替える必要があります。

今回は $a \le 0$ でまとめて扱って、$a=-2$ で場合分けするより、解答欄の状況から考えて $-4 \le a \le 0$ で最小値をとる$x$の値が変化するとして考えて良いでしょう。

軸が定義域内にあるとき、定義域の両端のうち、軸から遠い方で最小値をとります。

軸が区間の中点である$x=-2$より大きいか小さいかで場合分けすることにします。

$-4 \le a \le 0$のとき、

$x=-4$の場合、$y = -2(-4-a)^2 + 8$

$x=0$の場合、$y=-2(0-a)^2+8 = -2a^2 + 8$

i) $a < -4$ の場合はすでに求めています。

ii) $-4 \le a \le 0$ のとき、$x=-4$または$x=0$で最小値をとります。この場合、$x=-4$における$y$の値が、$x=0$のときの$y$の値以下となるのは$a \ge -2$のときです。

なので、

$-4 \le a < -2$ なら $x=0$で最小値 $-2a^2+8$をとり、

$-2 \le a \le 0$なら $x=-4$で最小値 $-2(a+4)^2+8$をとる。

ここで、条件は$a \le a$なので、 $-4 \le a \le 0$の場合、$x=-4$で最小値をとると考えられます。

$a \ge 0$はありえません。

したがって、$a < -4$ のとき、$x=0$ で最小値 $-2a^2+8$ をとります。

$-4 \le a \le 0$ のとき、$x=-4$ で最小値 $-2(a+4)^2+8$ をとります。

3. 最終的な答え

i) $a < -4$ のとき、$x = 0$ で最小値 $-2a^2+8$

ii) $-4 \le a \le 0$ のとき、$x = -4$ で最小値 $-2(a+4)^2+8$