$3^x - 3^{-x} = 3$ のとき、以下の値を求めます。 (1) $3^x + 3^{-x}$ (2) $3^{3x} + 3^{-3x}$

1. 問題の内容

$3^x - 3^{-x} = 3$ のとき、以下の値を求めます。

(1) $3^x + 3^{-x}$

(2) $3^{3x} + 3^{-3x}$

2. 解き方の手順

(1) $3^x + 3^{-x}$ を求める

与えられた式 $3^x - 3^{-x} = 3$ を二乗します。

$(3^x - 3^{-x})^2 = 3^2$

$(3^x)^2 - 2(3^x)(3^{-x}) + (3^{-x})^2 = 9$

$3^{2x} - 2 + 3^{-2x} = 9$

$3^{2x} + 3^{-2x} = 11$

求める式 $(3^x + 3^{-x})^2$ を展開します。

$(3^x + 3^{-x})^2 = (3^x)^2 + 2(3^x)(3^{-x}) + (3^{-x})^2$

$(3^x + 3^{-x})^2 = 3^{2x} + 2 + 3^{-2x}$

$(3^x + 3^{-x})^2 = (3^{2x} + 3^{-2x}) + 2$

$3^{2x} + 3^{-2x} = 11$ を代入します。

$(3^x + 3^{-x})^2 = 11 + 2 = 13$

したがって、

$3^x + 3^{-x} = \sqrt{13}$

(2) $3^{3x} + 3^{-3x}$ を求める

和と差の積の公式 $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ を利用して、

$(3^x + 3^{-x})(3^x - 3^{-x}) = (3^x)^2 - (3^{-x})^2 = 3^{2x} - 3^{-2x}$

$\sqrt{13} * 3 = 3\sqrt{13}$

次に、$3^{3x} + 3^{-3x}$ を求めます。

$(3^x + 3^{-x})^3 = (3^x)^3 + 3(3^x)^2(3^{-x}) + 3(3^x)(3^{-x})^2 + (3^{-x})^3$

$(3^x + 3^{-x})^3 = 3^{3x} + 3(3^{2x})(3^{-x}) + 3(3^x)(3^{-2x}) + 3^{-3x}$

$(3^x + 3^{-x})^3 = 3^{3x} + 3(3^x) + 3(3^{-x}) + 3^{-3x}$

$(3^x + 3^{-x})^3 = 3^{3x} + 3^{-3x} + 3(3^x + 3^{-x})$

$(\sqrt{13})^3 = 3^{3x} + 3^{-3x} + 3(\sqrt{13})$

$13\sqrt{13} = 3^{3x} + 3^{-3x} + 3\sqrt{13}$

$3^{3x} + 3^{-3x} = 13\sqrt{13} - 3\sqrt{13} = 10\sqrt{13}$

3. 最終的な答え

(1) $3^x + 3^{-x} = \sqrt{13}$

(2) $3^{3x} + 3^{-3x} = 10\sqrt{13}$