与えられた式 $2a^2b - 3ab + a - 2b - 2$ を因数分解しなさい。

1. 問題の内容

与えられた式 $2a^2b - 3ab + a - 2b - 2$ を因数分解しなさい。

2. 解き方の手順

式をよく見て、因数分解できる部分がないか探します。

$2a^2b - 3ab + a - 2b - 2$ を整理して、

$2a^2b - 2b - 3ab + a - 2$

先頭の2項を$2b$でくくると、

$2b(a^2 - 1) - 3ab + a - 2$

$a^2 - 1$ は $(a+1)(a-1)$ と因数分解できるので、

$2b(a+1)(a-1) - 3ab + a - 2$

ここではこれ以上因数分解できそうにありません。

しかし、問題文の意図としては因数分解できるはずなので、式に誤りがないか再度確認します。

もし問題が $2a^2b - 3ab + a - b + 1$ ならば、以下のように因数分解が可能です。

$2a^2b - 2ab -ab +a -b + 1 = 2ab(a-1) -a(b-1) - (b-1)$

上記の式では括ってもうまくいきません。

したがって、式に誤りがないと仮定すると、$2a^2b - 3ab + a - 2b - 2$は因数分解できません。

問題文が間違っていないか、再確認してください。

念のため、別の方法で因数分解を試みます。

式を $a$ について整理すると、

$2ba^2 + (-3b + 1)a - (2b + 2)$

解の公式を用いて $a$ を求めると、

$a = \frac{-( -3b + 1) \pm \sqrt{(-3b + 1)^2 - 4(2b)(-2b - 2)}}{2(2b)}$

$a = \frac{(3b - 1) \pm \sqrt{9b^2 - 6b + 1 + 16b^2 + 16b}}{4b}$

$a = \frac{(3b - 1) \pm \sqrt{25b^2 + 10b + 1}}{4b}$

$a = \frac{(3b - 1) \pm (5b + 1)}{4b}$

$a = \frac{8b}{4b} = 2$ または $a = \frac{-2b - 2}{4b} = \frac{-b - 1}{2b}$

よって、$2a^2b - 3ab + a - 2b - 2 = 2b(a-2)(a+\frac{b+1}{2b}) = (a-2)(2ab+b+1)$

3. 最終的な答え

$(a-2)(2ab+b+1)$