直角二等辺三角形 $PQR$ において、$PQ = PR$ であり、$Q$ および $R$ から直線 $l$ にそれぞれ垂線 $QS$ および $RT$ が引かれています。$PT = 2$ cm, $RT = 4$ cm のとき、三角形 $PQR$ の面積を求めます。

1. 問題の内容

直角二等辺三角形 $PQR$ において、$PQ = PR$ であり、$Q$ および $R$ から直線 $l$ にそれぞれ垂線 $QS$ および $RT$ が引かれています。$PT = 2$ cm, $RT = 4$ cm のとき、三角形 $PQR$ の面積を求めます。

2. 解き方の手順

まず、三角形 $PQS$ と三角形 $RTP$ が相似であることを示します。

* $\angle QPS = 90^{\circ} - \angle RP T$

* $\angle PRT = 90^{\circ} - \angle RP T$

したがって、$\angle QPS = \angle PRT$。

また、$\angle PSQ = \angle RTP = 90^{\circ}$。

2つの角が等しいので、$\triangle PQS \sim \triangle RTP$。

次に、相似な三角形の辺の比を利用して、$PS$ の長さを求めます。

$PQ = PR$ であり、$\triangle PQS \sim \triangle RTP$ より、$QS = PT$ と $PS = RT$。

したがって、$PS = RT = 4$ cm。

次に、$QT = PT + RT$ であることから、$PT = QS = 2$ cm、$RT = PS = 4$ cm。

$PQ = PR$なので, 三角形PQRの面積を求めるには、$PQ$ または $PR$ の長さを知る必要があります。

$PR^2=PT^2+RT^2$

$PR = \sqrt{PT^2 + RT^2} = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$

ゆえに、$PQ = 2\sqrt{5}$ cm。

最後に、直角二等辺三角形 $PQR$ の面積を計算します。

$\triangle PQR = \frac{1}{2} \cdot PQ \cdot PR = \frac{1}{2} \cdot (2\sqrt{5}) \cdot (2\sqrt{5}) = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 5 = 10$

3. 最終的な答え

$\triangle PQR = 10 \text{ cm}^2$