次の2つの式を因数分解します。 (1) $4x^2 - y^2 + 2y - 1$ (3) $x^3 + ax^2 - x^2 - a$

1. 問題の内容

次の2つの式を因数分解します。

(1) $4x^2 - y^2 + 2y - 1$

(3) $x^3 + ax^2 - x^2 - a$

2. 解き方の手順

(1) の解き方：

まず、$4x^2$ 以外の項を $-1$ でくくります。

$4x^2 - (y^2 - 2y + 1)$

括弧の中身を因数分解します。括弧の中は$(y-1)^2$ となります。

$4x^2 - (y - 1)^2$

$4x^2$ は $(2x)^2$ と書けるので、全体の式は2乗の差の形になります。

$(2x)^2 - (y - 1)^2$

2乗の差の因数分解の公式 $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$ を適用します。

$(2x + (y - 1))(2x - (y - 1))$

括弧を外して整理します。

$(2x + y - 1)(2x - y + 1)$

(3) の解き方：

$x$ に関する項と $a$ に関する項でまとめます。

$(x^3 - x^2) + (ax^2 - a)$

それぞれの括弧の中で共通因数でくくります。

$x^2(x - 1) + a(x^2 - 1)$

$x^2 - 1$ を因数分解します。$x^2 - 1 = (x + 1)(x - 1)$

$x^2(x - 1) + a(x + 1)(x - 1)$

$(x-1)$ が共通因数なので、これでくくります。

$(x - 1)(x^2 + a(x + 1))$

括弧を展開して整理します。

$(x - 1)(x^2 + ax + a)$

3. 最終的な答え

(1) $(2x + y - 1)(2x - y + 1)$

(3) $(x - 1)(x^2 + ax + a)$