正五角形ABCDEの頂点を反時計回りに点Pが移動します。最初は点Aにいます。サイコロを投げて、出た目の数だけ点Pは頂点を移動します。 (1) サイコロを1回投げたとき、点Pが頂点Bにある確率を求めます。 (2) サイコロを2回投げたとき、点Pが頂点Aにある確率を求めます。 (3) サイコロを2回投げたとき、点Pが頂点Cにある確率を求めます。 (4) サイコロを3回投げたとき、点Pが頂点Dにある確率を求めます。

1. 問題の内容

正五角形ABCDEの頂点を反時計回りに点Pが移動します。最初は点Aにいます。サイコロを投げて、出た目の数だけ点Pは頂点を移動します。

(1) サイコロを1回投げたとき、点Pが頂点Bにある確率を求めます。

(2) サイコロを2回投げたとき、点Pが頂点Aにある確率を求めます。

(3) サイコロを2回投げたとき、点Pが頂点Cにある確率を求めます。

(4) サイコロを3回投げたとき、点Pが頂点Dにある確率を求めます。

2. 解き方の手順

(1) サイコロを1回投げたとき、点Pが頂点Bにあるのは、サイコロの目が1のときです。サイコロの目は1から6まであるので、確率は $\frac{1}{6}$です。

(2) サイコロを2回投げたとき、点Pが頂点Aにあるのは、2回の目の合計が5の倍数（5, 10）のときです。

目の合計が5になる組み合わせは (1,4), (2,3), (3,2), (4,1) の4通りです。

目の合計が10になる組み合わせは (4,6), (5,5), (6,4) の3通りです。

したがって、合計7通りです。

サイコロの目の組み合わせは $6 \times 6 = 36$ 通りなので、確率は $\frac{7}{36}$です。

(3) サイコロを2回投げたとき、点Pが頂点Cにあるのは、2回の目の合計が3または8のときです。

目の合計が3になる組み合わせは (1,2), (2,1) の2通りです。

目の合計が8になる組み合わせは (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2) の5通りです。

したがって、合計7通りです。

サイコロの目の組み合わせは $6 \times 6 = 36$ 通りなので、確率は $\frac{7}{36}$です。

(4) サイコロを3回投げたとき、点Pが頂点Dにあるのは、3回の目の合計が4, 9, 14のときです。

目の合計が4になる組み合わせは (1,1,2)の順列３通りと(1,1,2),(1,2,1),(2,1,1)と (1,3,0)はありえない,(2,2,0)はありえないで3通り。

目の合計が9になる組み合わせは

(1,2,6)の順列６通り

(1,3,5)の順列６通り

(1,4,4)の順列３通り

(2,2,5)の順列３通り

(2,3,4)の順列６通り

(3,3,3)の順列１通り

合計25通り。

目の合計が14になる組み合わせは

(2,6,6)の順列３通り

(3,5,6)の順列６通り

(3,5,6), (3,6,5), (5,3,6), (5,6,3), (6,3,5), (6,5,3)

(4,4,6)の順列３通り

(4,5,5)の順列３通り

合計15通り。

合計3 + 25 + 15 = 43通り。

サイコロの目の組み合わせは $6 \times 6 \times 6 = 216$ 通りなので、確率は $\frac{43}{216}$です。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{6}$

(2) $\frac{7}{36}$

(3) $\frac{7}{36}$

(4) $\frac{43}{216}$