第4項が50、公差が-3である等差数列 $\{a_n\}$ について、以下の3つの問いに答えます。 問1：等差数列 $\{a_n\}$ の初項を求めよ。 問2：等差数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求めよ。 問3：初項から第何項までの和が最大となるか。また、その和を求めよ。

1. 問題の内容

第4項が50、公差が-3である等差数列 $\{a_n\}$ について、以下の3つの問いに答えます。

問1：等差数列 $\{a_n\}$ の初項を求めよ。

問2：等差数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求めよ。

問3：初項から第何項までの和が最大となるか。また、その和を求めよ。

2. 解き方の手順

問1：初項を求める

等差数列の一般項は $a_n = a_1 + (n-1)d$ で表されます。ここで、$a_n$ は第 $n$ 項、$a_1$ は初項、$d$ は公差です。

問題文より、$a_4 = 50$、$d = -3$ なので、以下の式が成り立ちます。

$a_4 = a_1 + (4-1)d$

$50 = a_1 + 3(-3)$

$50 = a_1 - 9$

$a_1 = 50 + 9$

$a_1 = 59$

問2：初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求める

等差数列の和の公式は $S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$ または $S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)$ で表されます。

$a_1 = 59$、$d = -3$ を用いて、$S_n$ を求めます。

$S_n = \frac{n}{2}(2(59) + (n-1)(-3))$

$S_n = \frac{n}{2}(118 - 3n + 3)$

$S_n = \frac{n}{2}(121 - 3n)$

問3：和が最大となる項数とその和を求める

和が最大となるのは、$a_n$ が初めて負になる直前までの項数を足し合わせたときです。

$a_n = a_1 + (n-1)d = 59 + (n-1)(-3)$

$a_n = 59 - 3n + 3$

$a_n = 62 - 3n$

$a_n < 0$ となる $n$ を求める

$62 - 3n < 0$

$3n > 62$

$n > \frac{62}{3} \approx 20.67$

$n$ は整数なので、$a_{21}$ が初めて負の数になる。したがって、和が最大になるのは第20項までです。ただし、 $a_{20} = 62 -3 \cdot 20 = 2$　なので、$a_{21} = 62 - 3 \cdot 21 = -1$です。$a_{20}$までは正の値なので、和が最大になるのは20項まででよいです。

したがって、和が最大になるのは $n = 20$ のときです。

$S_{20} = \frac{20}{2}(121 - 3(20))$

$S_{20} = 10(121 - 60)$

$S_{20} = 10(61)$

$S_{20} = 610$

3. 最終的な答え

問1：初項は59

問2：$S_n = \frac{n}{2}(121 - 3n)$

問3：初項から第20項までの和が最大となり、その和は610