3つの項の分母はそれぞれ、$x+1$, $x-1$, $x^2-1$です。$x^2-1$は$(x+1)(x-1)$と因数分解できるため、共通分母は$(x+1)(x-1)$となります。

## 問題 (5) の内容

与えられた式を簡略化する問題です。式は次の通りです。

$\frac{2x}{x+1} - \frac{2}{x-1} - \frac{x^2+3}{x^2-1}$

## 解き方の手順

1. **共通分母を見つける:**

3つの項の分母はそれぞれ、$x+1$, $x-1$, $x^2-1$です。$x^2-1$は$(x+1)(x-1)$と因数分解できるため、共通分母は$(x+1)(x-1)$となります。

2. **各項を通分する:**

各項を共通分母$(x+1)(x-1)$で表します。

* $\frac{2x}{x+1} = \frac{2x(x-1)}{(x+1)(x-1)}$

* $\frac{2}{x-1} = \frac{2(x+1)}{(x+1)(x-1)}$

* $\frac{x^2+3}{x^2-1} = \frac{x^2+3}{(x+1)(x-1)}$ (すでに共通分母なので変更なし)

3. **式を書き換える:**

通分した式は次のようになります。

$\frac{2x(x-1)}{(x+1)(x-1)} - \frac{2(x+1)}{(x+1)(x-1)} - \frac{x^2+3}{(x+1)(x-1)}$

4. **分子をまとめる:**

分子をまとめます。

$\frac{2x(x-1) - 2(x+1) - (x^2+3)}{(x+1)(x-1)}$

5. **分子を展開して簡略化する:**

分子を展開して簡略化します。

$\frac{2x^2 - 2x - 2x - 2 - x^2 - 3}{(x+1)(x-1)}$

$\frac{x^2 - 4x - 5}{(x+1)(x-1)}$

6. **分子を因数分解する:**

分子を因数分解します。

$\frac{(x-5)(x+1)}{(x+1)(x-1)}$

7. **共通因子をキャンセルする:**

分子と分母に共通の因子 $(x+1)$ があるので、キャンセルします。

$\frac{x-5}{x-1}$

## 最終的な答え

$\frac{x-5}{x-1}$