与えられた関数 $f(x) = \frac{1}{4}x^4 - 4x^2 + 12$ の増減を調べ、極値を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x) = \frac{1}{4}x^4 - 4x^2 + 12$ の増減を調べ、極値を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) まず、与えられた関数 $f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を求めます。

$f'(x) = x^3 - 8x = x(x^2 - 8)$

(2) $f'(x) = 0$ となる $x$ の値を求めます。

$x(x^2 - 8) = 0$

$x = 0, x = \pm \sqrt{8} = \pm 2\sqrt{2}$

(3) $f'(x)$ の符号を調べ、増減表を作成します。

| x | ... | $-2\sqrt{2}$ | ... | 0 | ... | $2\sqrt{2}$ | ... |

|-------|---------|--------------|-----|---|-----|--------------|-----|

| f'(x) | - | 0 | + | 0 | - | 0 | + |

| f(x) | 減少 | 極小 | 増加 | 極大 | 減少 | 極小 | 増加 |

増減表から、

- $x < -2\sqrt{2}$ で $f'(x) < 0$ (減少)

- $-2\sqrt{2} < x < 0$ で $f'(x) > 0$ (増加)

- $0 < x < 2\sqrt{2}$ で $f'(x) < 0$ (減少)

- $2\sqrt{2} < x$ で $f'(x) > 0$ (増加)

(4) 極値を求めます。

- $x = -2\sqrt{2}$ のとき、$f(-2\sqrt{2}) = \frac{1}{4}(-2\sqrt{2})^4 - 4(-2\sqrt{2})^2 + 12 = \frac{1}{4}(64) - 4(8) + 12 = 16 - 32 + 12 = -4$ (極小値)

- $x = 0$ のとき、$f(0) = \frac{1}{4}(0)^4 - 4(0)^2 + 12 = 12$ (極大値)

- $x = 2\sqrt{2}$ のとき、$f(2\sqrt{2}) = \frac{1}{4}(2\sqrt{2})^4 - 4(2\sqrt{2})^2 + 12 = \frac{1}{4}(64) - 4(8) + 12 = 16 - 32 + 12 = -4$ (極小値)

したがって、$f(x)$ は $x < -2\sqrt{2}$ で減少し、$-2\sqrt{2} < x < 0$ で増加し、$0 < x < 2\sqrt{2}$ で減少し、$2\sqrt{2} < x$ で増加します。

極大値は $f(0) = 12$ で、極小値は $f(-2\sqrt{2}) = f(2\sqrt{2}) = -4$ です。

問題文の空欄を埋めると、

- $-2\sqrt{2} < x < 0, 2\sqrt{2} < x$ のとき、$f'(x) > 0$

- $x < -2\sqrt{2}, 0 < x < 2\sqrt{2}$ のとき、$f'(x) < 0$

- 最大値は $12$

- 最小値は $-4$

3. 最終的な答え

A = 2

B = 2

C = 0

D = 2

E = f'(x) > 0

F = 2

G = 2

H = f'(x) < 0

I = 1

J = 2

K = -4