関数 $y = -2(x-a)^2 + 3$ の $-3 \le x \le 0$ における最大値を求め、場合分けに応じて空欄を埋める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = -2(x-a)^2 + 3$ の $-3 \le x \le 0$ における最大値を求め、場合分けに応じて空欄を埋める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数 $y = -2(x-a)^2 + 3$ は、上に凸の2次関数であり、軸は $x=a$ です。定義域は $-3 \le x \le 0$ です。最大値は、軸が定義域内にある場合と、定義域外にある場合で変わります。

(1) $a < -3$ のとき

このとき、軸 $x=a$ は定義域 $-3 \le x \le 0$ の左側にあります。したがって、$x$ が大きいほど $y$ の値は大きくなるので、$x=0$ で最大値をとります。最大値は $y = -2(0-a)^2 + 3 = -2a^2 + 3$ です。

(2) $-3 \le a \le 0$ のとき

このとき、軸 $x=a$ は定義域 $-3 \le x \le 0$ の中にあります。上に凸な関数なので、軸で最大値をとります。したがって、$x=a$ で最大値をとります。最大値は $y = -2(a-a)^2 + 3 = 3$ です。

(3) $0 < a$ のとき

このとき、軸 $x=a$ は定義域 $-3 \le x \le 0$ の右側にあります。したがって、$x$ が小さいほど $y$ の値は大きくなるので、$x=-3$ で最大値をとります。最大値は $y = -2(-3-a)^2 + 3 = -2(a+3)^2 + 3 = -2(a^2 + 6a + 9) + 3 = -2a^2 - 12a - 18 + 3 = -2a^2 - 12a - 15$ です。

3. 最終的な答え

(1) $a < -3$ のとき、$x=0$ で最大値 $-2a^2 + 3$

(2) $-3 \le a \le 0$ のとき、$x=a$ で最大値 $3$

(3) $0 < a$ のとき、$x=-3$ で最大値 $-2a^2 - 12a - 15$