与えられた連立不等式 $4x - y + 6 \ge 0$ $2x + 3y - 4 \le 0$ $x - 2y - 2 \ge 0$ で表される領域Dについて、以下の問いに答えます。 (1) 領域Dの面積を求めよ。 (2) 点(x, y)がこの領域内を動くとき、$x^2 - y$ の最大値と最小値をそれぞれ求めよ。 (3) 領域Dの全ての点(x, y)が、$x^2 + y^2 \le a$ を満たすようなaの値の範囲を求めよ。

はい、承知いたしました。与えられた連立不等式で表される領域に関する問題を解きます。

1. 問題の内容

与えられた連立不等式

$4x - y + 6 \ge 0$

$2x + 3y - 4 \le 0$

$x - 2y - 2 \ge 0$

で表される領域Dについて、以下の問いに答えます。

(1) 領域Dの面積を求めよ。

(2) 点(x, y)がこの領域内を動くとき、$x^2 - y$ の最大値と最小値をそれぞれ求めよ。

(3) 領域Dの全ての点(x, y)が、$x^2 + y^2 \le a$ を満たすようなaの値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 領域Dの面積を求める。

まず、各不等式を $y$ について解きます。

$y \le 4x + 6$

$3y \le -2x + 4 \Rightarrow y \le -\frac{2}{3}x + \frac{4}{3}$

$2y \le x - 2 \Rightarrow y \ge \frac{1}{2}x - 1$

次に、これらの直線の交点を求めます。

$4x + 6 = -\frac{2}{3}x + \frac{4}{3}$

$12x + 18 = -2x + 4$

$14x = -14$

$x = -1$

$y = 4(-1) + 6 = 2$

交点: $(-1, 2)$

$4x + 6 = \frac{1}{2}x - 1$

$8x + 12 = x - 2$

$7x = -14$

$x = -2$

$y = \frac{1}{2}(-2) - 1 = -2$

交点: $(-2, -2)$

$-\frac{2}{3}x + \frac{4}{3} = \frac{1}{2}x - 1$

$-4x + 8 = 3x - 6$

$14 = 7x$

$x = 2$

$y = \frac{1}{2}(2) - 1 = 0$

交点: $(2, 0)$

領域Dは、3点 $(-1, 2), (-2, -2), (2, 0)$ を頂点とする三角形です。

この三角形の面積は、ベクトルを使って計算できます。

$\vec{A} = (-2 - (-1), -2 - 2) = (-1, -4)$

$\vec{B} = (2 - (-1), 0 - 2) = (3, -2)$

面積 $= \frac{1}{2} | (-1)(-2) - (-4)(3) | = \frac{1}{2} | 2 + 12 | = \frac{1}{2} | 14 | = 7$

(2) $x^2 - y$ の最大値と最小値を求める。

$k = x^2 - y$ とおくと、$y = x^2 - k$ となります。

この放物線が領域Dと交わるようにkの範囲を考えます。

領域Dの頂点で評価すると、

$(-1, 2)$ のとき、$k = (-1)^2 - 2 = 1 - 2 = -1$

$(-2, -2)$ のとき、$k = (-2)^2 - (-2) = 4 + 2 = 6$

$(2, 0)$ のとき、$k = (2)^2 - 0 = 4$

$y = 4x + 6$ と $y = x^2 - k$ の接点を考える

$x^2 - k = 4x + 6$

$x^2 - 4x - 6 - k = 0$

判別式 $D = (-4)^2 - 4(1)(-6 - k) = 16 + 24 + 4k = 40 + 4k = 0$

$k = -10$

$x = \frac{4}{2} = 2, y = 4(2) + 6 = 14$

$y = -\frac{2}{3}x + \frac{4}{3}$ と $y = x^2 - k$ の接点を考える

$x^2 - k = -\frac{2}{3}x + \frac{4}{3}$

$3x^2 + 2x - 4 - 3k = 0$

$D = (2)^2 - 4(3)(-4 - 3k) = 4 + 48 + 36k = 52 + 36k = 0$

$k = -\frac{52}{36} = -\frac{13}{9}$

$y = \frac{1}{2}x - 1$ と $y = x^2 - k$ の接点を考える

$x^2 - k = \frac{1}{2}x - 1$

$2x^2 - x + 2 - 2k = 0$

$D = (-1)^2 - 4(2)(2 - 2k) = 1 - 16 + 16k = -15 + 16k = 0$

$k = \frac{15}{16}$

よって、最大値は6, 最小値は-1です。

(3) $x^2 + y^2 \le a$ を満たすaの範囲

領域Dの点(x,y)が原点から最も遠い点を求める。領域Dは三角形なので、頂点または辺上で最大となる。

頂点での原点からの距離の2乗はそれぞれ

$(-1,2): 1 + 4 = 5$

$(-2,-2): 4 + 4 = 8$

$(2,0): 4 + 0 = 4$

領域Dのすべての点が $x^2 + y^2 \le a$ を満たすためには、領域D上の任意の点における $x^2 + y^2$ の最大値が $a$ 以下であればよい。

よって、 $a \ge 8$。

3. 最終的な答え

(1) 領域Dの面積: 7

(2) $x^2 - y$ の最大値: 6, 最小値: -1

(3) aの値の範囲: $a \ge 8$