与えられた式 $(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc$ を展開し、整理して簡単にしてください。

1. 問題の内容

与えられた式 $(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc$ を展開し、整理して簡単にしてください。

2. 解き方の手順

まず、$(a+b+c)(ab+bc+ca)$ を展開します。

$(a+b+c)(ab+bc+ca) = a(ab+bc+ca) + b(ab+bc+ca) + c(ab+bc+ca)$

$= a^2b + abc + ca^2 + ab^2 + b^2c + abc + abc + bc^2 + c^2a$

$= a^2b + a^2c + b^2a + b^2c + c^2a + c^2b + 3abc$

したがって、元の式は次のようになります。

$(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc = a^2b + a^2c + b^2a + b^2c + c^2a + c^2b + 3abc - abc$

$= a^2b + a^2c + b^2a + b^2c + c^2a + c^2b + 2abc$

この式は、$(a+b)(b+c)(c+a)$ を展開した結果と同じです。

$(a+b)(b+c)(c+a) = (ab + ac + b^2 + bc)(c+a)$

$= abc + ac^2 + b^2c + bc^2 + a^2b + a^2c + ab^2 + abc$

$= a^2b + a^2c + b^2a + b^2c + c^2a + c^2b + 2abc$

よって、元の式は $(a+b)(b+c)(c+a)$ と等しくなります。

3. 最終的な答え

$(a+b)(b+c)(c+a)$

または、

$a^2b + a^2c + b^2a + b^2c + c^2a + c^2b + 2abc$